pattern recognition and machine learning 1-4

연속 변수 x 에 대해 정의된 확률 밀도 p_x(x) 를 고려, 

비선형 변수 변환 x = g(y) 를 적용하여 밀도 함수가

위 식에 해당하도록 변경되었다고 하자. 위 식을 미분해서 y 에 대한 밀도의 최대치를 주는 y^ 은 x 에 대한 밀도의 최대치를 주는 x^ 와 일반적으로 야코비안 인자로부터 결정되는 x^ = g(y^) 의 관계로 연관되어 있지 않음을 보여라. 

이는 확률 밀도가 변수의 선택에 종속되어 있음을 나타낸다. 

선형 변환의 경우에는 최댓값의 위치가 변수의 변환과 같은 방식으로 변경되는 것을 증명

 

x = g(y) 에서 비선형 변수 변환이므로 x^ != g(y^) 라는 것을 직관적으로 생각하게 된다.

 

x 에 대한 밀도의 최대치를 주는 x^ 일 때, 

f'(x^) = 0 

y 에 대한 밀도의 최대치를 주는 y^ 의 경우, 

~f'(y^) = f'(g(y^)) g'(y^) = 0

위 식에서 g'(y^) != 0 일 경우  f'(g(y^)) 가 0이 되어야 하는데, f'(x^) 가 0인 것을 알고 있다.

두 변수 x^, y^ 사이의 관계가 x^ = g(y^) 이므로,  성립하지 않음, 

 

calulate the derivative of P_y(y) with respect to y, 

먼저 y 값의 변화에 따른 p(y) 의 변화량의 계산,