1.8.3 특잇값 분해 문제와 답

1. S = Q∀Q^T 가 대칭인 양의 정부호일 때, 이 행렬의 특이값 분해를 구하라.

특잇값 분해는 정확히 UEV^T = Q∀Q^T 이다. 행렬 U = V = Q 는 직교이며, 행렬 A 의 고윳값은 E 의 특잇값이 된다.

2. S = Q∀Q^T 가 음수인 고윳값 (Sx = -ax) 를 가질 때, 특잇값과 벡터 v, u 를 구하라.

특잇값은 양수 sigma = +a 일 것이다. 특이벡터 중 하나는 반드시 -x 이다. 그러면 Sx = -ax 는 Sv = sigma u 와 같다. 따라서 두 부호의 변화가 사라진다.

3. A = Q 가 직교행렬일 때 모든 틋잇값이 1 인 이유를 설명하라.

A^TA = Q^TQ = I 이므로 모든 특잇값은 sigma = 1 이다. 그리고 E = I 이다. 그러나 .U = Q 와 V = I 는 특이벡터 u 와 v 에 대해 한 가지 경우일 뿐이다. 즉, Q = UEV^T 는 Q = QII^T 또는 임의의 Q = (QQ_1)IQ_1^T 일 수 있다.

4. 정사각행렬 A 의 모든 고윳값이 sigma_1 보다 작거나 같은 이유를 설명하라.

직교 행렬 U 와 V^T 를 곱해도 벡터의 길이는 변하지 않기 때문이다.