1.4 파동함수(규격화)

|PSI(x,t)|^2 이 시간 t, 위치 x 에서 입자를 발견할 확률밀도라는 파동함수의 통계적 해석으로 살펴본다. 모든 x 에 대해 |PSI|^2 을 적분하면 1이 된다.

이 결과가 성립하지 않으면 통계적 해석은 무의미하다.

결국 파동함수는 슈뢰딩거 방정식에 의해 결정된다. 두 가지 사실이 일관성이 있다는 것을 확인하지 ㅇ낳고 PSI 에 대한 추가 조건을 넣을 수는 없다. 

PSI(x,t) 가 해이면 A PSI(x,t) 도 해이다. 여기서 A 는 임의의 (복소수) 상수이다. 식 1이 만족하도록 이 상수를 결정해야 한다. 이 과저을 파동함수를 규격화한다고 한다. 어떤 경우에는 슈뢰딩거 방정식의 해는 적분하면 무한대로 발산한다. 이 경우 어떤 상수도 파동함수의 적분을 1로 만들 수 없다. PSI=0 인 단순한 경우에도 마찬가지이다. 이와 같이 규격화할 수 없는 해는 입자를 나타낼 수 없으므로, 파동함수로 사용할 수 없다. 물리적으로 가능한 상태는 슈뢰딩거 방정식의 제곱적분 가능한 해에 해당한다. 

PSI(x, t) 는 |x| → INF 일 때 1/|x|^(1/2) 보다 빨리 0에 접근해야 한다. 규격화를 통해서는 A 의 크기만 결정할 수 있고, 위상은 결정할 수 없다. 

 

생각해보면, 파동함수를 시간 t=0 에 규격화했다고 하자. 그러면 시간이 지나서 PSI 도 변화하면 이 파동함수는 계속 규격화되어 있을까? (파동함수를 계속 규격화할 수는 없다. 그럴 경우 A 는 t 의 함수가 되어 더 이상 슈뢰딩거 방정식의 해를 얻지 못한다.)  다행히도 슈뢰딩거 방정식의 놀라운 성질은 파동함수의 규격화를 자동적으로 보존시켜준다는 것이다. 이러한 성질이 없으면 슈뢰딩거 방정식은 통계적 해석과 양립할 수 없고, 전체 이론은 무너지게 될 것이다.

~ 생략