5. 리만의 제타 함수

바젤 문제

다음 무한 수열의 합을 닫힌 형식 closed form 으로 구하라.

바젤 문제는 바젤 시에서 따온 것, 바젤 급수는 조화급수와 유사한 형태를 취하고 있다. 조화급수의 각 항을 제곱하면 바젤 급수가 된다. 

바젤 급수의 모든 항들은 조화급수의 대응항보다 작고, 그 차이는 점점 커진다. 바젤 급수는 그렇다면 어떤 값에 수렴할 것인가?

먼저 닫힌 형식 closed form 이라는 수학 용어의 의미, 무한 소수를 십진표기법으로 나타낸 것은 열린 형식에 불과하다. 

완전제곱수의 역수로 만들어진 수열의 합은 닫힌 형식으로 구하는 것이 바벨 문제이다. 

우선 지수과 제곱근, 로그에 관한 기초 지식의 정리

 

지수가 무리수일 경우 어떻게 될까? 이 질문의 답을 구하려면 해석학에 대한 이해, √2 로 수렴했던 수열, 이 수열을 계속 진행해가면 마지막 항은 점점 √2 에 가까워진다. 

 

숫자를 지수로 올리는 과정은 곱셈의 원리와 비슷하다. 하지만 곱셈과 지수의 차이점은 다음의 성질로부터 나타난다. ab ba 는 같지만 a^b b^a 는 일반적으로 같지 않다. 

x = a^b 을 뒤집은 표현은 두 가지가 있다. 하나는 a 를 x 와 b 로 나타낸 것이고 나머지 하나는 b 를 x 와 a 로 나타낸 것이다. 

여기서 로그 함수가 등장한다. b 는 a 를 밑수로 하는 x 의 로그값과 같다. 즉 b = log_a x 이다. 다시 말해서 log_a x 는 a 를 거듭제곱하여 x 로 만들어 주는 지수의 값을 나타낸다. 그러므로 로그는 밑 수 a 의 값에 따라 무수히 많은 로그 족으로 세분될 수 있다. 

가장 중요한 것은 e 를 밑으로 하는 로그 함수이다. 

로그 함수가 갖고 있는 장점 중 하나는 곱셈을 덧셈으로 변환시킨다는 것이다. 

 

오일러는 바젤 문제 뿐만 아니라 짝수 거듭제곱의 역수로 만들어진 수열의 합까지 구해낼 수 있었다. 

 

리만 가설

제타 함수의 자명하지 않은 모든 근들은 실수부가 1/2 이다.

 

리만의 제타함수는 다음과 같이 정의된다.