4. 선형 방정식과 역행렬

4.1 선형 방정식의 두 그림

선형대수학의 핵심은 연립방정식을 푸는 것이고, 이때 방정식들은 선형이다. 

선형은 미지수에 수만 곱한 것을 의미, 

두 개의 방정식, 두 개의 미지수

한 번에 하나의 행을 다루는 것, 

두 방정식이 만드는 직선에서 x=3, y=1 은 두 직선이 만나는 교점, 두 개의 방정식을 동시에 만족한다. 

즉, x=3, y=1 은 두 개의 방정식에 대한 해이다.

 

이제 열 글미을 살펴본다. 같은 선형 시스ㅔㅁ을 벡터 방정식 vector equation 으로 생각해본다. 

원래의 시스템을 열로 분리해, 다음과 같은 벡터 방정식을 얻는다.

위 식은 좌변에 두 개의 열베거를 갖는다. 문제는 우변의 벡ㅌ터와 같아지게 하는 선형결합을 찾는 것이다. 

 

벡터 방정식의 좌변은 열들의 선형결합 linear combination 이다. 이때 문제는 올바른 계수 x = 3, y = 1 을 찾는 것이다. 

스칼라 곱셈과 벡터의 덧셈을 하나의 단계로 합친다. 

 

위 방정식을 Av = b 와 같이 행렬 문제로 바꾸어 생각할 수 있다.

 

벡터의 선형결합

벡터 v = (3,1) 은 순서쌍 또는 평면의 점 또는 (0,0) 에서 시작하는 화살표를 의미한다.

첫 번째 단계는 임의의 수 c 를 벡터에 곱하는 것이다. 스칼라 scaler, c 는 항상 벡터의 각각 다른 성분에 곱해진다.

다른 벡터 w 를 v 에 더할 수 있다. 성분끼리 더할 수도 있고, 화살표를 사용할 수 있다.

 

진짜 중요한 연산은 두 가지 연산을 한 번에 할 때이다. 

 

높은 차원의 선형 결합에서 선형대수학이 훌륭한 도구,

 

v 와 w 의 내적

또 다른 중요한 벡터의 연산은 곱셈의 한 종류이다. v 와 w 의 결과는 하나의 수이며 이를 내적 v · w 이라 부른다.

내적 연산의 결과가 0이라는 것은 두 벡터가 서로 수직이라는 것을 말해준다. 

 

행렬 A 와 벡터 v 와의 곱셈

선형 방정식은 Av = b 의 형태를 갖는다. 

우변 b 는 열벡터이고, 좌변은 계수 행렬 A 와 미지의 열벡터 v 를 곱한 것이다. 

중요한 사질은 Av 가 행 그림에서는 내적으로 계산하고, 열 그림에서는 열들의 선형 결합으로 계산한다는 것이다.

행과 열은 가은 결과인 벡터 Av 를 만든다.

A 가 n 개의 열 a_1, ..., a_n 을 가져도 법칙은 똑같이 성립한다. 그러면 v 는 n 개의 성분을 가지며 벡터 Av 는 여전히 열들의 선형결합인 Av = a_1 v_1 + a_2 v_2 + ... + a_n v_n 이다. 즉 v 의 값들을 A 의 열에 곱한다.

 

비가역 행렬과 평행선

행 그림과 열 그림은 실패할 수 있다.

행 그림은 직선들이 평행할 때 실패한다. 이때 직선들은 만나지 않으며 Av = b 는 해를 갖지 않는다.

열 그림은 같은 방향을 가리킬 경우, 행이 종속 dependent 이면 열 또한 종속이다. 

 

3차원에서 방정식과 그림

3차원에서 x + y + 2z = 6 과 같은 선형 방정식은 평면을 만든다. 

우변이 0 이면 평면은 (0,0,0) 을 지나는데, 이 방정식의 경우 우변이 6 이므로 원점을 지나지 않도록 평행한 평면으로 옮긴다.

두 번째 선형 방정식은 다른 평면을 만들 것이다. 일반적으로 두 개의 평면이 만나면 직선이 생긴다. 그러면 세 번째 평면은 이 직선을 점에서 만ㄴ난다. 이 점은 모든 평면에 놓여 있고, 세 개의 방정식을 만족한다.

 

3차원 안에서 3 개의 평면에 대한 행 그림을 설명, 이 평면들은 모두 해에서 만난다. 문제는 3개의 평면을 행 그림으로 그리기 어렵다는 것이다. 

반면 Av = b 의 열 그림은 훨씬 쉽다. 이는 3차원에서 세 개의 열벡터로 시작한다. 

A 의 열들을 선형결합하여 벡터 v_1(1열) + v_2(2열) + v_3(3열) = b 를 만들고자 한다.