2. 선형대수(대각합 연산자)

2.10 대각합 연산자

대각합 연산자 trace operator, Tr 은 행렬의 모든 주대각 성분의 합을 계산한다.

대각합 연산자가 유용한 이유는 여러 가지이다. 합산 표기법 없이는 표현하기 어려운 연산 중에 행렬 곱과 대각합 연산자로 표현할 수 있는 것들이 있다. 

예를 들어 대각합 연산자를 이용하면 행렬의 프로베니우스 노름을 다음과 같이 이전과는 다른 방식으로 표현할 수 있다.

수식을 대각합 연산자로 표현해 보면 여러 유용한 항등식들로 수식을 조작할 기회가 생긴다. 예를 들어 대각합 연산자는 전치 연산자에 대해 불변 invariant 이다.

여러 행렬의 곱으로 이뤄진 정방행렬의 대각합은 그 행렬곱의 마지막 인수를 첫 위치로 이동해도 변하지 않는다. 단, 이는 자리를 바꾸어도 행렬곱이 정의되는 형태의 행렬들에만 적용된다. 

이를 임의의 개수의 행렬들로 일반화하면 다음과 같다.

이러한 순환치환 cyclic permutation 에 대한 불변성은 최종 행렬곱이 원래의 행렬곱과 형태가 달라도 성립한다. 

 

또 다른 유용한 성질은 스칼라의 대각합은 스칼라 자신이라는 것이다. 즉, a = Tr(a)