네 가지 기본 부분공간

선형대수학의 큰 그림, 

m * n 행렬 A 에서 4 개의 부분 공간, 즉 2 개의 R^m 부분공간과 2 개의 R^n 부분공간이 어떻게 유도되는지,

 

랭크가 1 인 행렬 uv^T , 열공간은 u 를 지나는 직선, 행공간은 v 를 지나는 직선,

그래프 이론은 이산수학에서 가장 중요한 모델,  잘 이해필요,

 

A = [[1,2],[3,6]] = uv^T 에서 m = 2, n = 2, R^2 의 부분공간의 생각,

 

1. 열공간 C(A) 은 u =[[1],[3]] 을 지나는 직선이다. 행렬 A 의 2열은 이 직선 위에 있다.

2. 행공간 C(A^T) 는 v = [[1],[2]] 를 지나는 직선이다. 행렬 A 의 2행은 이 직선 위에 있다.

3. 영공간 N(A) 는 x = [[2],[-1]] 을 지나는 직선이다. 

4. 좌영공간 N(A^T) 는 y = [[3],[-1]] 을 지나느 직선이다.

 

열공간 C(A) 는 행렬 A 의 모든 열의 일차결합을 포함한다.

행공간 C(A^T) 는 행렬 A^TT 의 모든 열의 일차결합을 포함한다.

 

영공간 N(A) 는 Ax = 0 의 모든 해를 포함한다.

좌영공간 N(A^T) 는 A^T y = 0 의 모든 해를 포함한다.

 

행렬 B = [[1,-2,-2],[3,-6,-6]] 에서 m = 2, n = 3 이다. 따라서 행렬 B의 기본 부분공간은 R^3 과 R^2 의 부분공간이다.

행렬 A, B 를 비교하면 두 가지 부분공간은 바뀌며, 두 가지 부분공간은 바뀌지  않는다. 

B 의 열공간은 R^2 의 부분공간이며 A 의 열공간과 기저 벡터가 같다. 

그러나 B 의 열 개수는 3 이고 여전히 행공간에는 하나의 v 만 있다. 두 행은 같은 방향이므로 랭크는 r = 1 이다.

 

n=3 개의 미ㅈ수와 하나의 독립인 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 Bx = 0 ㅇ는 3 - 1 = 2 개의 일차독립인 해 x_1,2 가 있다. 모든 해는 영공간에 포함된다.

 

영공간 N(B) 는 R^3 에서 하나의 평면이다. 이 평면에서는 서로 수직인 정규직교기저인 벡터 v_2,3 을 확인할 수 있다.

 

r 개의 독립인 일차방정식으로 이루어진 Ax = 0 에는 일차독립인 해가 n - r 개 있다.