1.2 행렬 곱셈 AB

내적 은 AB = C 의 각 성분을 계산하는 데 필요하다.

A 의 2행, B 의 3열은 C 의 c_23 을 준다.

내적 c_23 = (A의 2행) · (B의 3열) A 의 a 들과 b 들의 곱셈의 합이다.

행렬 곱셈 AB를 구하는 다른 방법은 A 의 열과 B 의 행을 곱하는 것이다. 여기에는 두 가지 요점으로 열 u와 행 v^T 를 곱하면 해열이 만들어진다. 행렬 uv^T 는 특히 간단한 형태이다.

외적 = uv^T=(2)(2)(1)·(3,4,6) = 랭크 1인 행렬

m,1 행렬과 1,p 행렬의 곱셈은 m,p 행렬을 생성한다. 랭크 1 행렬 uv^T 가 어떤 특별한 성질을 가지는지 주목하자

uv^T 의 모든 열은 u = (2)(2)(1) 의 배수이고 모든 행은 v^T=(3,4,6) 의 배수이다.

uv^T 의 열공간은 1차원이다(u 방향의 직선). 열공간의 차원(일차독립인 열의 개수)은 행렬의 랭크이다. 영행렬이 아닌 uv^T 는 항상 랭크가 1이고 모든 행렬을 이루는 가장 이상적인 기본 행렬이다.

참고로 uv^T 의 행공간은 직선 v를 지나는 직선이다. 행렬 A의 행공간은 행렬 A 의 전채행렬 A^T 의 열공간 C(A^T) 이다. 이에 따라 행벡터, 열벡터를 모두 생각할 필요 없이 열벡터로만 생각해도 된다.

예로 행렬 uv^T 를 얻기 위해 uv^T 의 전치행렬을 생각해 보자.

(uv^T)^T = vu^T

앞의 예시는 다음의 선형대수학 제 1 정리에 대한 가장 명확한 예이다.

행 랭크  = 열 랭크, r 개의 일차독립 열 r ⇔ 개의 일차독립 행

영행렬이 아닌 행렬 uv^T 에는 하나의 일차독립 열과 하나의 일차독립 행이 있다. 모든 열은 u 의 배수이며 모든 행은 v^T 의 배수이다. 이 행렬의 랭크는 r = 1이다.