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미적분/미분적분학

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5.3 미적분학의 기본 정리 미분학은 접선 문제로부터 발생하였고, 반면 적분학은 넓이 문제로부터 발생하였다. 미적분학의 기본 정리는 도함수와 적분 사이의 정확한 역관계를 보여준다. 첫 번째 기본정리는 다음과 같은 형태의 방정식으로 정의되는 함수에 관한 것이다. g 는 적분의 상한의 변수인 x 에만 좌우된다는 사실에 주의해야 한다. 만일 x 가 고정된 수라면, 적분은 하나의 수이다. 만일 x 가 변한다면 수로 표현되는 적분도 변하게 되므로 g(x) 인 x 의 함수로 정의될 수 있다. 미적분학의 기본 정리 1 함수 f 가 구간 [a,b] 에서 연속이면, 로 정의된 함수 g 는 구간 [a, b] 에서 연속이고 구간 (a,b) 에서 미분가능하며, g'(x) = f(x) 이다.
5.2 정적분 넓이를 계산할 때 다음 형태의 극한이 나타난다는 사실을 알아보았다. 함수 f 가 반드시 양의 값을 갖는 함수가 아닐지라도 이러한 동일한 형태의 극한이 나타난다는 것을 알 수 있다. 정적분의 정의 만일 함수가 a
5.1 넓이와 거리 넓이 문제 직선을 변으로 갖는 영역들에 대해서 넓이라는 단어는 생각하기 쉽다. 그러나 곡선으로 된 영역의 넓이를 구하는 것은 그렇게 쉽지 않다. 접선을 정의할 때 먼저 접선의 기울기를 할선들의 기울기에 대한 극한으로 근사시켰음을 상기, 넓이에 대해서도 이와 비슷한 아이디어를 따른다. 영역 S 를 직사각형들로 근사시킨 다음에 이 직사각형들의 수를 증가시켜서 직사각형들의 넓이의 극한을 구한다. 예제 0부터 1 까지 포물선 y = x^2 아래의 넓이를 직사각형들을 이용하여 구한다. 먼저 영역 S 는 한 변의 길이가 1인 정사각형 안에 포함되기 때문에 S 의 넓이는 0과 1 사이의 어떤 값임을 알 수 있다. 좀 더 정확한 값을 구하기 위해 각 구간을 나눌 수 있다. 각 조각들을 직사각형으로 근사시킬 수 있다. ..
4.3 그래프의 모양을 말해주는 도함수 미분적분학의 많은 응용은 함수 f 에 대한 여러 사실들을 도함수에 관한 정보로부터 유추하는 능력에 달려 있다. f'(x) 는 점 (x, f(x)) 에서 곡선 y=f(x) 의 기울기를 표현하기 때문에 곡선이 각각의 점에서 진행하는 방향을 알려준다. 따라서 f'(x) 가 f(x) 에 대한 정보를 제공하리라고 기대하는 것은 무리가 아니다. f' 은 f 에 대해 무엇을 알려주는가? f 의 미분이 함수가 어디에서 증가 또는 감소인지를 알 수 있다. f'(x) 가 양수일 때 f 는 증가이고 f'(x) 가 음수일 때 f 는 감소이다. 이것이 항상 성립함을 보이기 위해 평균값 정리를 이용한다. 증가감소 판정법 어떤 구간에서 f'(x) > 0 이면, f 는 증가이다. 어떤 구간에서 f'(x) < 0 이면, f 는 감소이..
4.2 평균값 정리 평균값 정리를 얻기 위해서 우선 다음 정리가 필요하다. 롤의 정리 f 는 다음 세 가지 가정을 만족하는 함수라고 하자. f 는 폐구간 [a,b] 에서 연속이다. f 는 개구간 (a,b) 에서 미분가능하다. f(a) = f(b) 이때, f'(c)=0 을 만족하는 수 c 가 (a,b) 안에 존재한다. 증명, 세 가지 경우로 나누어 증명한다. 경우 1 f(x) = k, 상수 f'(x) = 0 이므로, c 는 (a,b) 안에 어떠한 수도 취할 수 있다. 경우 2 (a,b) 안에 어떤 x 에 대해 f(x) > f(a) 극값 정리에 의해 f 는 [a, b] 에서 최댓값을 갖는다. f(a) = f(b) 이므로 개구간 (a, b) 안에 어떤 수 c 에서 이 최댓값을 갖는다. 이때, f 는 c 에서 극대이고 f 는 c ..
4.1 최댓값과 최솟값 미분에서 가장 중요한 응용으로 최적화 문제가 있다. 최적화 문제들은 함수의 최댓값, 최솟값을 구하는 것으로 해결가능하다. 정의 c 를 함수 f 의 정의역 D 에 있는 어떤 수라고 하자. 그러면 f(c) 는 D 의 모든 x 에 대해 f(c) >= f(x) 를 만족할 때 D 에서 f 의 최댓값이라 한다. D 의 모든 x 에 대해 f(c) = f(x) 를 만족할 때 f(c) 를 함수 f 의 극댓값이라 한다. x 가 c 근방에서 f(c)
3.11 쌍곡선함수 지수함수 e^x 를 적당히 결합하여 얻은 함수들은 수학이나 응용분야에서 자주 이용되기 때문에 이들 함수에 특별한 명칭을 부여할 가치가 있다. 이들 함수들은 삼각함수와 많은 점에서 비슷하다. 삼각함수가 원과 관계가 있는 것처럼, 이들은 쌍곡선과 관련이 있다. 이런 이유에서 이들을 쌍곡선함수 hyperbolic functions, 쌍곡선사인함수, 쌍곡선코사인함수 등으로 부른다. 쌍곡선사인함수의 정의역과 치역은 모두 R 이다. 반면 쌍곡선코사인함수의 정의역은 R 이고 치역은 [1, INF) 이다. 쌍곡선탄젠트함수의 수평점근선은 y = +-1 이다. 붕괴 현상이 쌍곡선함수에 의하여 표현될 수 있기 때문에 과학과 공학에서 쌍곡선함수의 응용은 실체가 점진적으로 흡수되거나 소멸되는 경우에 나타난다. 역쌍곡선함수 쌍곡..
3.10 선형 근사와 미분 곡선은 접점 근방에서 접선과 매우 가깝게 놓여 있음을 보았다. 실제로 미분가능한 함수의 그래픠 위의 한 점 부근을 확대함으로써, 그래프가 점점 더 접선과 같아 보인다. 이 관찰은 함수의 근삿값을 구하는 방법의 근간이 된다. 함수의 값 f(a) 를 계산하는 것은 쉽지만, f 의 근삿값을 구하는 것은 어렵거나 불가능할 수도 있다. 따라서 점 (a, f(a)) 에서 f 의 접선을 그래프로 갖는 1차함수 L 의 값을 쉽게 계산할 수 있다면 문제를 해결할 수 있다. 다시 말하면, x 가 a 에 가까이 있을 때 곡선 y = f(x) 에 대한 근사식으로 점(a, f(a)) 에서의 f 의 접선을 이용한다. 접선의 방정식과 근사식을 a 에서의 f 의 선형 근사식 또는 접선 근사식이라 부른다. 이 접선을 그래프로 갖는 1..

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