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미분방정식

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4.5 대칭 행렬과 직교 행렬 행렬의 전치 transpose, A 의 열들은 A^T 의 행들이다. m*n 행렬은 주대각성분을 중심으로 뒤집힌다. 곱 AB : AB 의 전치는 (AB)^T = B^T A^T 이다. 역행렬 A^-1 : A^-1 의 전치는 (A^-1)^T = (A^T)^-1 대칭 행렬 symmetric matrix : A^T = A, A 는 정사각행렬 직교 행렬 orthogonal matrix : A^T = A^-1, A^T A = I 직교 행렬에서 대각성분이 아닌 곳에서 그 값이 0인 것을 확인할 수 있다. 대각성분은 1, 대칭 행렬 S = A^T A 대칭 행렬의 가장 큰 장점은 그들의 고윳값과 고유벡터에서 온다. 핵심 방정식 Ax = lambda x 를 볼 것, 다음의 두 가지 사실을 통해 대칭 행렬이 특별한 이유를 살..
4.4 역행렬 A 가 정사각행렬일 때, A^-1 과 A 를 곱하면 I 가 되는 동일한 크기의 역행렬 A^-1, 이 곱은 항등 행렬이 되며, A^-1 는 존재하지 않을 수도 있다. 행렬에서는 주로 벡터 v 를 곱한다. Av = b 에 A^-1 을 곱하면 v = A^-1 b 가 된다. A^-1 가 존재하여 A^-1 A = I 를 만족할 때 A 를 가역 invertible 이라고 한다. 모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다. A 는 가역이라는 질문은 A^-1 을 즉시 계산하라는 의미가 아니다. 대부분의 문제에서 A^-1 을 직접 계산하지는 않는다. A^-1 에 관한 여섯 개의 성질, A^-1 이 존재하는 것과 소거가 n 개의 피봇을 만드는 것은 동치이다. 소거는 직접적으로 A^-1 을 사용하지 않으면서 Av = b 를 푼..
4.3 행렬의 곱셈 이전엔 행렬과 열벡ㅓ를 곱했다. 이제 행렬 A 와 B 를 곱한다. A 를 B 의 각 열과 곱해서 AB의 열을 얻자. AB 의 i 행과 j 열의 성분은 (A의 i행) dot (B의 j열) 이다. A 의 열의 개수는 B 의 행의 개수와 가아야 한다. 행렬의 연산법칙 덧셈의 교환, 분배, 결합 법칙을 따르고 곱셈의 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않고, 오른쪽 왼쪽의 분배법칙의 ㅅ ㅓㅇ립, A와 B 가 정사각행렬이 아닐 때, AB 와 BA 의 크기는 다르다. AI 가 IA 가 되느 ㄴ것은 참이다. 행렬의 거듭제곱 행렬의 거듭제곱은 수에서와 같은 법칙을 따른다. 소거 행렬 이제 소거와 행렬에 대한 두 가지 원리를 합친다. 목표는 모든 소거의 단계를 명확하게 표현하는 것, AB 를 곱하는 네 가지 방법 1. A 의..
4. 선형 방정식과 역행렬 4.1 선형 방정식의 두 그림 선형대수학의 핵심은 연립방정식을 푸는 것이고, 이때 방정식들은 선형이다. 선형은 미지수에 수만 곱한 것을 의미, 두 개의 방정식, 두 개의 미지수 한 번에 하나의 행을 다루는 것, 두 방정식이 만드는 직선에서 x=3, y=1 은 두 직선이 만나는 교점, 두 개의 방정식을 동시에 만족한다. 즉, x=3, y=1 은 두 개의 방정식에 대한 해이다. 이제 열 글미을 살펴본다. 같은 선형 시스ㅔㅁ을 벡터 방정식 vector equation 으로 생각해본다. 원래의 시스템을 열로 분리해, 다음과 같은 벡터 방정식을 얻는다. 위 식은 좌변에 두 개의 열베거를 갖는다. 문제는 우변의 벡ㅌ터와 같아지게 하는 선형결합을 찾는 것이다. 벡터 방정식의 좌변은 열들의 선형결합 linear com..
임펄스 응답 = 기본해 선형 미분방정식의 가장 중요한 해는 g(t) 로 부른다. 수학에서 g 는 기본해이고, 공학에서 g 는 임펄스 응답이다. 이것은 우변 f(t) = delta(t) 가 임펄스(델타 함수) 일 때의 특수해이다. 도일한 g(t) 는 초기 속도 g'(0) = 1/m 일 때 mg''+kg=0 의 해가 된다. 일계 미분방정식 y' = ay + q 에서 기본해 fundamental solution 은 g(t) = e^at 이었다. 먼저 물리적인 언어로 응답 g(t) 가 무엇인지 설명, 우리가 물체를 치면 그 물체는 움직이기 싲가한다. 우리의 모든 힘은 한순간에 작용하는 임펄스라고 볼 수 있다. 한 순간 내의 유한한 힘은 일반적인 함수로는 표현이 불가능하고, 오질 델타 함수로만 표현할 수 있다. delta(t) 의 적분..
과학, 공학에서의 이계도 함수 (초기속도 y'(0)) 이계 미분방정식은 두 개의 초기 조건을 갖는다. 물체는 초기 위치 y(0) 에서 움직이기 시작하고, 이때 초기 속도는 y'(0) 이다. my''+ky = 0 의 완전해를 표현하기 위해 상수 c_1, c_2 가 필요하고, 이를 결정하기 위해 y(0) 과 y'(0) 이 모두 필요하다. 지금까지 움직임은 정지 상태에서 시작되었다 (y'(0) = 0, 즉 초기 속도가 없다). 그러면 c_1 은 y(0), c_2 는 0 이 되어 코사인 함수만 남는다. 우리가 초기 속도를 허용하는 즉시 사인 함수인 해 y = c_2 sin wt 가 반드시 포함되어야 한다. 그러나 계수 c_2 가 그저 y'(0) 인 것은 아니다. 원래의 해 y = y(0)cos wt 는 t = 0 에서 y(0) 과 일치했고, 이때 새로운 해 y =..
과학, 공학에서의 이계도 함수 ( 기계학, 용수철에 달려 있는 물체 ) 이차 방정식은 이계도 함수 d^2 y / dt^2 까지 포함한다. 이계도 함수는 y'' 으로, 일계도 함수는 y' 으로 표현한다. 물리적 문제에서 y' 는 속도 v 를 나타내고, y'' 는 가속도 a, 즉 속도가 변하는 비율 dy'/dt 를 나타낸다. 역학에서 가장 중요한 방정식은 뉴턴의 제 2 법칙인 F = ma 이다. 이계 미분방정식을 일계 미분방정식과 비교하고, 두 방정식이 모두 비선형일 수 있다고 생각한다. 이계 미분방정식은 초기 위치 y(0) 과 초기 속도 y'(0) 을 나타내는 두 개의 초기조건이 필요하다. 이를 통해 y''(0) 이 무엇인지 알 수 있으며 이를 통해 물체의 운동을 파악할 수 있다. 직선 운동과 일차원 문제를 풀어본다. y''>0 일 때, y(t) 의 그래프는 위쪽으로 구부러져..
6.3 선형 시스템(고유벡터와 고윳값에 의한 해) n*n 행렬 A 가 n 개의 서로 다른 고윳값 lambda 를 가질 때 자연스럽게 성립하는 사실이다. 그러면 고유벡터 x 는 임으의 시작 벡터 y(0) 을 나타낼 수 있는 기저이다. lambda 와 x 를 찾은 다음 c 를 차즌 넋은 해에서의 1 단계와 같다. 2단계는 y = e^(lambda t) x 를 사용해서 방정식 y' = Ay 를 푼다. 임의의 고유벡터로 시작한다. 이 해 y = e^(lambda t) x 는 상수 벡터 x 로부터 시간에 의존하는 e^(lambda t) 를 분리시킨다. n 개의 고유벡터로부터 n 개의 분리된 근을 더한다. t = 0 에서 식(1) 의 y(0) 과 일치한다. 여기서 우리는 c 를 선택했다. 예제 y' = (-2, 1)(1, -2) y 의 해를 찾아라. 어떤 근이 y..

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