6.3 선형 시스템(고유벡터와 고윳값에 의한 해)

n*n 행렬 A 가 n 개의 서로 다른 고윳값 lambda 를 가질 때 자연스럽게 성립하는 사실이다. 

그러면 고유벡터 x 는 임으의 시작 벡터 y(0) 을 나타낼 수 있는 기저이다.

lambda 와 x 를 찾은 다음 c 를 차즌 넋은 해에서의 1 단계와 같다.

2단계는 y = e^(lambda t) x 를 사용해서 방정식 y' = Ay 를 푼다. 임의의 고유벡터로 시작한다.

이 해 y = e^(lambda t) x 는 상수 벡터 x 로부터 시간에 의존하는 e^(lambda t) 를 분리시킨다.

n 개의 고유벡터로부터 n 개의 분리된 근을 더한다.

t = 0 에서 식(1) 의 y(0) 과 일치한다. 여기서 우리는 c 를 선택했다.

예제

y' = (-2, 1)(1, -2) y 의 해를 찾아라. 어떤 근이 y(0) = (6)(2) 를 갖는가?

우선 lambda 값을 찾는다. 그들의 고유벡터는 V 에 들어간다.

y(0) = Vc 를 푼다. 이때 y(0) 은 고유벡터의 조합 4x_1 + 2x_2 이다.

주어딘 4 e^-t x_1 과 2e^(3t) x_2 에 의해 분리된 근 c e^(lambda t) x 를 찾는다. 이제 각각을 더한다.

이제 복소 고윳값과 고유벡터를 갖는 행렬을 살펴보고자 한다. 이는 y(t) 에서 복소수를 얻게 해준다. 

하지만 A 는 실수행렬이고 y(0) 은 실수이므로 y(t) 는 실수이어야 한다. 

오일러의 공식 e^(it)=cos t + i sin t 는 실수로 돌아가도록 한다.

예제

다시 고윳값과 고유벡터를 찾는데, 이번에는 복소수이다.

y'=Ay 를 풀기 위해서는 y(0) = (6, 2) 를 고유벡터들의 결합으로 표현한다.

이는 복소수를 포함한다. 이는 실수이어야 한다. e^(-2t) 를 공통으로 묶으면 다음이 남는다.

인수 e^(-2t) 를 다시 넣으면 실수 y(t) 를 찾을 수 있다. 

lambda 의 실수부로부터 오는 인수 e^(-2t) 는 감소를 의미하고, 허수부에서 오는 cos t, sin t 는 진동을 의미한다.