6.2 행렬의 대각화(행렬의 거듭제곱 A^k)

피보나치의 예는 전형적인 차분방정식 u_k+1 = Au_k 이다. 각 단계에서 A 를 곱하며 해는 u_k = A^k u_0 이다. 여기서는 행렬의 대각화가 A^k 를 계산하고 u_k 를 3 단계 안에 찾는 빠른 방법을 어떻게 주는지 명확히 한다.

고유벡터 행렬 V 는 A = V∀V^-1 을 만든다. 이는 거듭제곱의 계산에 완벽하게 적합한데, V^-1 을 V 에 곱할 때마다 I 를 얻기 때문이다.

V ∀^k V^-1 u_0 를 3단계로 나눈다. 

1. u_0 을 고유벡터의 결합으로 쓴다. c = V^-1 u_0 이다.
2. 각 수 c_i 에 (lambda_i)^k 을 곱한다. 
3. 조각 c_i (lambda_i)^k x_i 를 더해서 u_k = A^k u_0 을 얻는다.