미적분/스트랭 미분적분학 (6) 썸네일형 리스트형 y=x^2 과 y=x^n 의 기울기 변화 기울기는 곡선을 따라 움직이며 변한다. 평균 기울기는 △y/△x 이지만 이것이 목표는 아님, 미적분학에서 중요한 질문'점에서의 기울기' 의 의미는 무엇이고 이를 어떻게 계산해야 하는가?실제로 아무것도 변하지 않을 때 변화율의 의미는 무엇인가??? 두 단계의 대답계산하여 △y/△x 를 얻었고, 미적분은 dy/dx 를 찾는다. 이 증분 dy, dx 는 무한하게 작아서 공식적으로 0/0 을 볼 수 있다. 하지만 성공적인 계획은 △x 에 대한 △y의 비율이 명확히 정의되어 있고, 이 두 수치는 매우 작아질 수 있다는 것이다. 만약 비율 △y/△x 가 극한에 가까워진다면 다음의 답을 얻는다. x 에서의 기울기는 △y/△x = y(x+△x) - y(x) / △x 의 극한이다. 이 극한 과정은 한 점에서의 기울.. 시작 - 미적분학은 함수들의 순서쌍 미적분학의 전체 요점은 함수의 증가율을 발견한고 그 정보를 사용하는 것, 동시에 두 개의 함수, 원래의 함수와 그 함수의 증가율을 사용한다. 이를 위한 함수의 정의 - 함수는 입력 x 와 출력 y(x) 를 가진다. 각각의 x 에 대해 이 함수는 하나의 y 를 가진다. 함수를 묘사하는 세 가지 방법x 로부터 y 를 찾기 위한 식을 구한다x 와 y 를 보여주는 그래프를 그린다.입력-출력 쌍을 구한다. 함수들의 순서쌍미적분학은 함수들의 순서쌍에 관한 것, 함수 (1) 과 함수 (2), 함수 (1) 의 증가율은 함수 (2), (1) 에서 시작하여 (2) 에 대한 식을 생산하는 것이 목적 x 가 변할 때 y 가 얼마나 빨리 변하는지 측정하는 두 가지 방법(극한) : y 의 변화량 / x 의 변화량 의 .. 1.4 원운동 세 변의 길이가 각각 cos t, sin t, 1 인 직각삼각형을 생각 원운동에서의 생각 공은 각이 0인 x 축에서 출발한다. 시간 t 일 때 공의 위치는 다음과 같다 공은 x = cos t, y = sin t 의 위치에 있다. 공의 속도 시간 t 에서 공이 어느 방향으로 가는가? 미적분은 t 와 t+h 사이의 움직임을 본다. 공이 운동하는 방향은 원의 접선 방향과 같다. 속도 삼각형이 다음 그림에 있다. 원 안에 위치한 삼각형이 90도만큼 회전한 것이다. 빗변은 공이 움직이는 방향에서 원에 접한다. 위치의 상향 성분이 sin t 일 때 속도의 상향 성분은 cos t 이다. 특정 한 점에서 v = cos t 임을 확인, 진동 : 상하운동 직선 운동을 공부하기 위해 원운도을 이용할 것, 이때 y 축이 직선.. 1.3 순간 속도 미적분의 핵심 과제도달, 서로 반대되는 두 가지 질문이 주어진다. 1. 속도가 변하면 거리를 어떻게 계산할 수 있는가? 2. f(t) 의 그래프가 직선이 아닌 경우 기울기는 무엇인가? 평균은 기울기지만 곡선의 기울기는 아니다. 평균 속도는 직선의 기울기이다. 시간 간격을 계속해서 줄여 점점 더 곡선 윙 ㅔ가까워지는 점들 사이의 기울기를 찾을 수 있다. 그 극한값은 한 점에서의 기울기이다. 시간 t+h 에서의 거리를 계산하고, 시간 t 에서의 거리를 빼서 h 로 나누면 평균 속도를 얻는다. 시간 간격 h 에 의존, h 가 0에 가까워질 때 속도가 어떻게 되는지 볼 수 있다. 시계가 t 를 가리킬 때 그 순간에서의 평균은 속도계의 값에 더 가까워진다. h 가 0에 가까워짐에 평균 속도는 속도계의 값에 가까워.. 1.2 극한 없이 배우는 미적분 중요한 것은 차이점을 살펴보는 것이므로 수 자체는 특별한 것이 아니며 어떤 숫자를 사용하든지 상관없다. 이들의 차이점을 살펴보는 것이 중요하다. f 에 해당하는 숫자들은 증가하기도 하고 감소하기도 하며 그들의 차인 v 도 양수나 음수를 가질 수 있다. 이 차들을 더해서 미적분학의 아이디어를 발견할 수 있다. 차들의 합은 마지막 f 에서 첫 번째 f 를 뺀 값이다. v 의 그래프와 f 의 그래프의 중요한 차이점, v 의 그래프는 조각적 상수 piecewise constant 이다. 차들을 각 조각마다 상수로 그리고 f 의 그래프는 조각적 선형이다. f 의 숫자들은 직선으로 연결된다. 거리 f(t) 가 직선이고 속도 v(t) 는 수평 직선일 때 이는 거리-속도 그래프를 상기시킨다. 그래프 f 의 기울기 = .. 1.1 속도와 거리 두 가지 문제를 통해 미적분을 알아본다. 우선 우밎ㄱ임에 대한 미적ㅇ분의 개념 중 하나로, 속도계와 주행 거리계의 관계이다. 속도계로는 속력(속도)를 측정하고, 주행 거리계로는 움직인 거리를 측정한다. 속도는 v, 이동 거리는 f 로 쓰기로 한다. 측정 단위는 v 와 f 에 따라 다르다. f 로 부터 v 를 구하려면 모든 수식은 f 를 시간으로 나누면 된다. 미적분에서 핵심 질문은 v 와 f 사이의 관계이다. f 를 알 때 v 를 구할 수 있을까? 반대의 경우엔 어떨까? 이제까지 자동차의 속도 이력을 안다면 자동차가 이동한 총 거리르 계산할 수 있어야 한다. 즉 주행 기록이 누락되어도 속도계 기록이 완전하다면 거리에 대한 정보를 복구할 수 있다. 여기서 핵심은 정보가 있다는 점이다. 마찬가지로 v 에 관.. 이전 1 다음
