1.3 순간 속도

미적분의 핵심 과제도달, 서로 반대되는 두 가지 질문이 주어진다. 

1. 속도가 변하면 거리를 어떻게 계산할 수 있는가?

2. f(t) 의 그래프가 직선이 아닌 경우 기울기는 무엇인가?

평균은 기울기지만 곡선의 기울기는 아니다. 평균 속도는 직선의 기울기이다. 

시간 간격을 계속해서 줄여 점점 더 곡선 윙 ㅔ가까워지는 점들 사이의 기울기를 찾을 수 있다. 그 극한값은 한 점에서의 기울기이다.

시간 t+h 에서의 거리를 계산하고, 시간 t 에서의 거리를 빼서 h 로 나누면 평균 속도를 얻는다.

시간 간격 h 에 의존, h 가 0에 가까워질 때 속도가 어떻게 되는지 볼 수 있다. 시계가 t 를 가리킬 때 그 순간에서의 평균은 속도계의 값에 더 가까워진다.

h 가 0에 가까워짐에 평균 속도는 속도계의 값에 가까워진다.

또한 미적분은 평균의 극한값을 요구한다. h 가 0 으로 줄어들면 그래프의 점들이 더 가까워진다. 즉, 한 구간에 걸친 평균은 순간의 속도가 된다. 

v(t) = 2t 가 시간에 따라 선형적으로 증가한다면 거리는 얼마인가? 

 

시간에 따른 함수

한 직선의 기울기에 대한 아이디어는 f 의 변화를 t 의 변화로 나누면 된다. 

미적분의 역할은 곡선을 따라 점 B 를 점 A 방향으로 가져오는 것이다.