1.1 속도와 거리

두 가지 문제를 통해 미적분을 알아본다.

우선 우밎ㄱ임에 대한 미적ㅇ분의 개념 중 하나로, 속도계와 주행 거리계의 관계이다. 속도계로는 속력(속도)를 측정하고, 주행 거리계로는 움직인 거리를 측정한다.

속도는 v, 이동 거리는 f 로 쓰기로 한다. 측정 단위는 v 와 f 에 따라 다르다. f 로 부터 v 를 구하려면 모든 수식은 f 를 시간으로 나누면 된다. 

미적분에서 핵심 질문은 v 와 f 사이의 관계이다.

f 를 알 때 v 를 구할 수 있을까? 반대의 경우엔 어떨까? 이제까지 자동차의 속도 이력을 안다면 자동차가 이동한 총 거리르 계산할 수 있어야 한다. 즉 주행 기록이 누락되어도 속도계 기록이 완전하다면 거리에 대한 정보를 복구할 수 있다. 

여기서 핵심은 정보가 있다는 점이다. 마찬가지로 v 에 관해 모든 것을 안다면 f 를 구할 수 있어야 한다.

미적분학의 전체 주제는 v 와 f 의 관계를 기초로 한다. 우리는 거리 기록으로부터 속도를 찾는 법응ㄹ 아라야 한다. (이를 미분 differentiation 이라고 부르며, 미분학의 핵심적인 아이디어이다.) 또한 속도의 이력으로부터 거리를 계산할 수 있어야 한다(이는 적분 interaration 이며, 적분학의 목표)

미분은 f 에서 v로, 적분은 v 에서 f로 진행된다. 

 

일정한 속도

속도가 v = 60 으로 일정하다고 가정해본다. 그러면 f 는 일정한 비율로 증가한다. 시간 t 와 거리 f 에 관한 그래프가 직선일 때 f 가 시간에 대해서 선형적으로 증가한다고 한다.

v, f, t 사이의 관계는 단순 연산이 필요하지만 미적분은 필요하지 않다.

v 가 상수이고, f 가 0에서 시작한다면 f = vt 이다.

이 문장의 역 또한 참으로, f 가 선형적으로 증가할 때 v 는 상수이다. 이때 f 를 시간 t로 나누면 기울기가 된다. 

기하학적으로 속도는 거리 그래프의 기울기이다.

 

속도 vs 거리 : 기울기 vs 넓이

속도 v 로부터 거리 f 를 어떻게 구할 수 있을까? 이 질문에서 핵심은 f = vt 를 그래프에서 보는 것이다. v 의 그래프를 통해 f 의 그래프를 도출하고자 한다. 기울기의 반대는 넓이가 된다. 

거리 f 는 v 의 그래프에서 넓이이다. 

v 가 상수이면 v 의 그래프와 t 축 사이의 영역은 직사각형이다. 그 높이는 v 이고 너비는 t 이며 넓이는 vt 이다. 이때 v 로부터 f 까지 넓이를 계산해나가는 것이 적분이다. 

f 의 그래프에서 기울기는 속도 v 이다. v 의 그래프에서 넓이는 거리인 f 이다.

 

함수

앞의 예제를 통해 함수라는 중요한 개념을 알 수 있다. 

숫자 v(t) 는 시간 t 에서의 함수 v 의 값이다.

시간 t 는 함수의 입력 변수이다. 시간 t 에서의 속도 v(t) 는 주어진 입력값에 대한 출력값이다. 

거리 함수 또한 이런 문제점을 포함한다. f(t) 역시 v(t) 와 같은 원리로 정의된다. 이때 f(t) 는 시간 t 에서의 거리이다. 이는 얼마나 움직였는지를 나타내며 t = 3 에서 조건이 변경된다. 

f 의 알려진 영역은 모든 입력값과 출력값이 알려진 영역과 같고, 이를 각각 정의역, 치역이라고 부른다. 

함수의 정의역은 입력값의 집합이며 치역은 출력값의 집합이다.

모든 선형함수는 f(t) = vt + C 꼴의 식을 갖는다. 선형함수의 그래프는 직선이며 기울기는 v 이다. 상수 C 는 원하는 시작점을 통과하도록 직선을 조정하는 역할을 한다.