1.2 극한 없이 배우는 미적분

중요한 것은 차이점을 살펴보는 것이므로 수 자체는 특별한 것이 아니며 어떤 숫자를 사용하든지 상관없다. 이들의 차이점을 살펴보는 것이 중요하다.

f 에 해당하는 숫자들은 증가하기도 하고 감소하기도 하며 그들의 차인 v 도 양수나 음수를 가질 수 있다. 이 차들을 더해서 미적분학의 아이디어를 발견할 수 있다. 

차들의 합은 마지막 f 에서 첫 번째 f 를 뺀 값이다. 

v 의 그래프와 f 의 그래프의 중요한 차이점, v 의 그래프는 조각적 상수 piecewise constant 이다. 차들을 각 조각마다 상수로 그리고 f 의 그래프는 조각적 선형이다. f 의 숫자들은 직선으로 연결된다. 거리 f(t) 가 직선이고 속도 v(t) 는 수평 직선일 때 이는 거리-속도 그래프를 상기시킨다. 

그래프 f 의 기울기 = 세로 길이 / 가로 길이 = f 의 변화 / t 의 변화 = v

이때 핵심은 중단점들 사이에서 f(t) 의 기울기가 v(t) 라는 것이다. 넓이와 연결시켜,

v 의 그래프에 의한 전체 넓이는 f_n - f_0 이다.

f 의 그래프가 곡선일 때 끊임없이 변하는 속도를 계산하기 위해서는 미적분이 필요하다.