1.4 원운동

세 변의 길이가 각각 cos t, sin t, 1 인 직각삼각형을 생각

원운동에서의 생각 공은 각이 0인 x 축에서 출발한다. 시간 t 일 때 공의 위치는 다음과 같다

공은 x = cos t, y = sin t 의 위치에 있다.

공의 속도

시간 t 에서 공이 어느 방향으로 가는가? 미적분은 t 와 t+h 사이의 움직임을 본다. 공이 운동하는 방향은 원의 접선 방향과 같다. 

속도 삼각형이 다음 그림에 있다. 원 안에 위치한 삼각형이 90도만큼 회전한 것이다. 빗변은 공이 움직이는 방향에서 원에 접한다. 

위치의 상향 성분이 sin t 일 때 속도의 상향 성분은 cos t 이다. 

특정 한 점에서 v = cos t 임을 확인,

 

진동 : 상하운동

직선 운동을 공부하기 위해 원운도을 이용할 것, 이때 y 축이 직선 역할을 할 것이다. 원 주위는 공 대시 ㄴ질량이 y 축에서 위아래로 움직인다고 한다. 그것은 y = 1, -1 사이에서 진동한다. 이때 질량은 공의 그림자이다.

고으이 높이는 질량의 높이가 된다. 공의 그림자는 공과 수평을 이루며 위아래로 움직인다. 공이 원의 꼭대기를 지날 때 질량은 맨 꼭대기에서 멈추고 아래로 움직인다. 공이 바닥 주변에서 회전하면 질량이 멈추고 양의 방향으로 다시 y 축을 올라간다. 중앙에서의 속력은 1이다.

공의 속력은 항상 1이지만 질량의 속력은 변한다. 주기는 동일하지만 그 주기 내에서 질량의 속력(면적)이 빨라져싸가 느려진다. 문제는 변화하는 속도 v 를 찾는 것, 거리가 f = sin t 이기 때문에 속도는 사인 곡선의 기울기가 될 것이다.

 

사인 곡선의 기울기

가장 꼭대기와 가장 아래에서 공은 방향을 바꾸고 v = 0 이 된다. 사이 곡선의 가장 꼭대기에서와 가장 아래에서 기울기는 0 이다. 시간이 0 일 때 공이 똑바로 올라가며, 사인 곡선의 기울기는 v = 1 이다. 

t = pi 에서 공과 질량 및 f 의 그래프가 내려갈 때, 속도는 v = -1 이다. 질량은 중심으로 가장 빠르게 간다. 질량은 높이가 최대 또는 최소에 도달할 때 가장 느리게 움직인다. 속도 삼각형은 매 시간 t 마다 v 를 보여준다.

질량의 상향 속도를 찾으려면 공의 상향 속도를 관찰해야 한다. 두 속도는 동일하다. 무게와 공이 같은 수준에 있으며, 우리는 원운동에서 v 를 알 수 있다. 상향 속도는 v = cos t 이다.

사인 곡선의 기울기는 코사인 곡선이다.

거리가 f(t) = sin t 일 때 속도는 v(t) = cos t 이다.

이전의 방법을 통해 sin t 의 기울기르 ㄹ구하기 위해서는 sin(t+h) 의 수식을 찾아야 한다. 

위 식의 분수식은 h → 0 에 따라 cos t 로 접근해야 한다. 

 

코사인 곡선의 기울기

거리가 f(t) = cos t 일 때 속도는 v(t) = -sin t 이다.

 

공이 좌우로 움직이는 것을 볼 수 있다. 공의 거리는 f = cos t 이고, 가로지르는 속도는 v = -sin t 이다. 

일정한 속도에서 f 는 vt 와 같다. 일정한 가속도에서 v = at 이고, f = 1/2 at^2 이다. 조화운동에서 v = cos t 이고 f = sin t 이다.