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미적분/스트랭 미분적분학

y=x^2 과 y=x^n 의 기울기 변화

기울기는 곡선을 따라 움직이며 변한다. 

평균 기울기는 △y/△x 이지만 이것이 목표는 아님, 

미적분학에서 중요한 질문

'점에서의 기울기' 의 의미는 무엇이고 이를 어떻게 계산해야 하는가?

실제로 아무것도 변하지 않을 때 변화율의 의미는 무엇인가???

 

두 단계의 대답

계산하여 △y/△x  를 얻었고, 미적분은 dy/dx 를 찾는다. 이 증분 dy, dx 는 무한하게 작아서 공식적으로 0/0 을 볼 수 있다. 

하지만 성공적인 계획은 △x 에 대한 △y의 비율이 명확히 정의되어 있고, 이 두 수치는 매우 작아질 수 있다는 것이다. 

만약 비율 △y/△x  가 극한에 가까워진다면 다음의 답을 얻는다.

 

x 에서의 기울기는 △y/△x = y(x+△x) - y(x) / △x 의 극한이다. 

 

이 극한 과정은 한 점에서의 기울기 dy / dx 를 만든다. 

 

계산을 통해 △y/△x 을 얻었고, 극한에서 미적분은 dy/dx 를 주었다. △y/△x는 한 점에서의 기울기 dy/dx 에 가까워진다. 

 

접선의 기울기 = 곡선의 기울기 = 함수(2) = dy/dx = 2x

 

임의의 특정한 점 x_0 를 선택하면 x 축 위의 그 점 위에서 그래프는 높이 y_0 = x_0^2 에 있다. 그래프의 이 점에서의  접선의 기울기는 dy/dx = 2x_0 이다. 

이 기울기를 가지면서 이 점을 지나는 직선에 대한 방정식을 구하고자 한다. 

 

곡선 y = x^2 은 구부러졌고, 접선은 올곧다. 이 직선은 곡선과 만나는 점 근처에서 곡선에 가능한 한 가까운 채로 머물러 있다. 접선은 비선형함수 y = x^2 에 대한 선형 근사를 준다. 

 

 

이계도 함수 

일계도 함수는 기울기 dy / dx = 2x 이다. 

이계도 함수는 기울기의 기울기, d^2 y / d x^2 기호임에 주목

 

일계도 함수는 함수 y(x) 가 얼마나 빨리 변하는지를, 이계도함수는 속도의 증가 여부를 알려준다. 

 

y = x^n 의 기울기

이러한 형태의 미분의 두 가지 특징

  1. 단순한 패턴
  2. y = e^x 의 도입 가능

x^(n+1) 을 x^n 과 x 의 곱으로 보고 y_1 과 y_2 의 기울기에 대한 법칙을 사용한다.

 

곱 미분 법칙 : y_1 y_2 의 기울기 = y_2(y_1 의 기울기) + y_1(y_2 의 기울기)

 

x 의 다른 거듭제곱들을 결합하면서 다항식의 기울기를 계산할 수 있다. 

 

 

 

 

 

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