11.

모든 음의 짝수들이 제타 함수의 근임을 확인하였다. 이 결과는 리만 가설로 더 가까이 인도한다.

 

리만 가설

제타 함수의 자명하지 않은 모든 근들은 실수부가 1/2 이다.

 

그러나 음의 짝수들은 제타 함수의 자명한 근이다. 그렇다면 자명하지 않은 근들은 무엇일까?

복소수 complex 와 허수 imaginary

 

복소수, 수의 분류

자연수

정수

유리수

실수

복소수

 

√-1 이라고 쓰는 번거로움을 덜기 위해 i 라는 기호를 창안, i 는 -1 의 제곱근으로써, i^2 = -1 이다. 

i 만을 이용하여 모든 음수의 제곱근을 나타낼 수 있다. i * 상수 의 형태로 나타낼 수 있다.

허수 단위 i 는 실수와 더해지거나 곱해졌을 때 사라지지 않는다.

모든 복소수는 실수부 real part 와 허수부 imaginary part 를 갖고 있다. 

실수부가 0인 복소수를 허수라고 한다. 

두 복소수의 덧셈은 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 더해준다. 

 

복소수는 하나의 선 위에 대응되지 않는다. 모든 실수는 직선상의 모든 점들에 일대일로 대응되지만 복소수는 그렇지 않다. 

두 개의유리수 사이에 무한개의 유리수가 존재, 무리수 또한 무한히 많지만, 무리수의 총 개수가 유리수보다 많다, 

 

복소수는 수직선의 어느 곳에 자리 잡고 있는가? 하나의 실수 a 에 대하여 무한히 많은 b 가 대응될 수 있으므로 a 지점에수직선과 수직으로 교차하는 직선을 그어서 b 를 일일히 대응시키면 된다. 그 결과는 하나의 평면으로 나타난다. 즉, 복소수는 평면 위에 표현되어야 하는 것이다. 

이렇게 만들어진 평면을 복소평면 complex plane 이라 한다. 모든 복소수는 복소평면 위의 한 점으로 표현될 수 있다.

 

임의의 복소수 z 가 복소평면 위에 하나의 점으로 표시되어 있을 때, 원점에서 그 점까지의 거리를 그 복소수의 절대값이라 하고, 항상 0 이상의 값을 갖는다.

진폭 amplitude 는 양의 실수축에서 원점과 복소수를 잇는 직선까지 측정한 각도로, 라디안을 사용한다. 

주어진 복소수와 실수부는 같으면서, 허수부의 부호가 반대인 복소수를 켤레 복소수 complex conjugate 라 한다. 복소수와 그 켤레복소수를 서로 곱하면 이 값은 항상 실수이다.