2. 선형대수(5. 무어-펜로즈 유사역행렬)

정방행렬이 아닌 행렬에는 역행렬이 정의되지 않는다.

Ax = y

위와 같은 연립방정식을 풀 때, 행렬 A 의 왼쪽 역행렬 B를 양변에 곱하면,

x = By

그런데 문제의 구조에 따라서는 A 에서 B 로의 사상이 유일하지 않을 수 있다. A 가 세로로 긴 비정방행렬이면 이 방정식에는 해가 없을 수 있고, 가로로 긴 행렬이면 해가 여러 개일 수 있다.

이런 상황에서 무어-펜로즈 유사역행렬이 도움이 될 수 있다. 

A 의 유사 역행렬은 다음과 같이 정의된다.

유사역행렬을 구하는 데 실제로 쓰이는 알고리즘들은 이 정의가 아니라 다음과 같은 정의에 기초한다.

여기서 U, D, V 는 A 의 고윳값 분해이다. 

대각행렬 D 의 유사역행렬 D^+ 는 D 의 0이 아닌 성분의 역수를 취하고 그 결과를 전치해서 간단하게 구할 수 있다.

 

A 가 행보다 열이 많은 행렬일 때, 이러한 유사역행렬로 연립방정식을 풀면 여러 가능한 해 중 하나가 나온다. 구체적으로 말하면, 모든 가능한 해 중 유클리드 노름이 최소인 해 x = A^+ y 를 얻게 된다.

 

A 가 열보다 행이 많은 행렬일 때는 해가 없을 수 있다. 그런 경우 유사역행렬을 적용하면 유클리드 노름 ||Ax-y|| 를 측정 기준으로 해서 y 와 최대한 가까운 Ax 에 해당하는 x 를 얻게 된다.