행렬 A 의 독립인 열과 랭크

더 나아가 행렬 A 의 기저 basis 를 찾고, 행렬 A 를 두 행렬의 곱셈 C * R 로 분해, 선형대수학 제 1 정리를 증명할 수 있다. 그러면 행렬의 랭크와 부분공간의 차원을 더 잘 이해할 수 있다.

모든 개념은 일차도긻의 개념을 이해하는 데서 출발한다. 최종 목표는 행렬 A 에서 행렬 C 를 바로 찾는 것이다. 이때 C ㅡ이 어떠한 열도 다른 열의 일차결합으로 표현되지  않아야 한다. 

그리고 가능한  많은 C 의 열이 일차독립이어야  한다.

이제 A 의 n 개의 열로 찾을 수 있는  행렬 C 의 소개

• A 의 1열의 성분에 0이 아닌 것이 있으면, 이를 행렬 Cㅔ 에 포함한다. 
• A 의 2열이 1열에 상수를 곱한 것과 같지 않으면, 이를 C 에 포함한다.
• A 의 3열이 1열과 2열의 일차결합이 아니면, 이를 C 에 포함한다. 위 작업을 반복
• 마지막에 C는 r 개의 열이 된다.
• 이 r 개 열은 A 의 열공간의 기저이다.
• A 의 나머지 열은 C 의 r 개의 기본 열의 일차결합이다.

 

부분공간의 기저는 일차독립인 벡터로 이루어진다. 한 공간에 있는모든 벡터는 기저 벡터의 일차결합으로 표현할 수 있다.

 

랭크는 일차독립인 열의 개수와 같다. 행렬의 랭크는 열공간의 차원이다.

행렬 C 는 행렬 R 에 의해 행렬 A 와 연결된다. 즉 A = CR 이다. 

C 와 R 의 1열의 곱셈으로 A 의 1열을 얻는다.

C 와 R 의 2 열의 곱셈으로 A 의 2 열을 얻는다.

 

마지막 결과는 A 의 3열이다. 이 모든 과정은 R 을 찾기 위한 과정이다.

C 의 열의 일차결합은 A 의 열을 생성한다. A = CR 는 이 정보를 행렬 곱셈으로 저장한다.

 

R = rref(A) = 행렬  A 의 기약행 사다리꼴

 

C 에 하나의 열만 있다는 것은 R 에 하나의 행만 있다는 것,

C 가 A 일 경우 R = I(단위 행렬) 이다.

 

랭크 정리 : 일차독립인 열과 일차독립인 행의 개수는 같다.

위 랭크 정리는  A = CR 을 이용해서 증명할 수 있다.

행렬 R 에는 r 개의 행이 있다. R 에 C 를 곱하면 이 행의 일차결합을 얻는다. 

A = CR 이므로 A 의 모든 행은 R 의 r 개 행에서 생성되며, 이 r 개의 행은 일차독립이다. 그러므로 이 행들은 A 의 행공간의 기저이다. A 의 열공간과 행공간의 차원은 r 이다. 

즉, 기저 벡터는 r 개이고 이들 벡터는 C 의 열이며 R 의 행이다.

 

왜 R 은 일차독립인 열을 왜 가질까?

R 에 있는 0과 1은 어떠한 경우에도 한 행을 다른 행의 일차결합으로 표현할 수 없음을 의미한다. 

 

데이터 과학에서 분해는 행렬 A 의 SVD 이다. 

즉, 첫 번째 인수 C 에 r 개의 직교 열벡터가 있고 두 번째 인수 R 에 r 개의 직교 행벡터가 있는 경우이다.