고윳값과 고유벡터

A 의 고유벡터는 A 에 그 벡터들을 곱해도 방향이 변하지 않는다는 성질을 가진다. Ax 는 대입한 벡터 x 와 같은 선상에 있다.

x = A 의 고유벡터, lambda = A 의 고윳값 

A x = lambda x

 

고유벡터 x 는 단지 고윳값인 lambda 를 곱한 형태이다. 

 

고유벡터는 A 에 의존하는 특별한 벡터이다.

대부분의 nn 행렬에는 n 개의 독립인 고유벡터 x_n 과 그에 대응하는 n 개의 서로 다른 고윳값 lambda_n 이 있다. 

이 경우 모든 n 차원 벡터 v 는 그 고유벡터들의 일차결합으로 표현된다.

S 의 고유벡터는 위와 같다.

lambda_1,2 = 3,1 이다. S^k 는 3^k 처럼 점점 커질 것

 

고윳값과 고유벡터의 네 가지 성질

S 의 대각합 : lambda_n 의 합은 대각성분의 합과 같다.

행렬식 : lambda_n 의 곱은 행렬 식과 같다.

실수 고윳값 : 대칭행렬의 고윳값은 항상 실수이다.

직교 고유벡터 : lambda 의 값이 서로 다르면 x_1 . x_2 = 0 이다.

 

대칭행렬 S 는 실수와 비숫하다. 직교 행렬 Q 는 크기가 1인 복소수와 비슷하다. 

Q 의 거듭제곱은 크거나 작아지지 않는다.

 

 

고윳값의 계싼

Ax = lambda x 는 (A - lambda I)x = 0 과 같음에 주목, 그러면 A - lambda I 의 역행렬은 존재하지 않는 특이행렬이다.

행렬식 A - lambda I 는 반드시 0이 되어야 한다. 

이는 lambda 에 대한 n 차 방정식이며 이 방정식의 근은 n 개이다. 

 

lambda^2 - (a + d)lambda + (ad - bc) = 0

 

이 이차방정식은 인수분해할 수 있다.

근의 공식에 의해 항상 두 개의 근이 존재한다.

근의 공식에서 두 근의 합이 행렬의 대각합과 같음을 알 수 있다. 

또한 A 가 대칭행렬일 경우 b = c 이므로 고윳값이 실수가 된다.

bc 가 음수일 경우 고윳값과 고유벡터는 복소수가 된다.

 

닮음행렬

가역행렬 B 에 대하여  BAB^-1 의 고윳값은 A 의 고윳값과 같다.

닮음인 두 행렬의 고윳값은 같다.