n,n 직교 행렬 Q 에서 열 q_1,..., q_n 이 있다고 가정, 이 단위벡터는 n 차원 공간 R^n 의 기저이다. 모든 벡터 v는 다음과 같이 기저벡터 q 의 결합으로 나타낼 수 있다.
이들은 축 위에 있는 v 의 성분이다. 즉, 축 위로의 v 사영이다. 다음은 계수에 대한 간단한 공식이다.
이제벡터 증명과 행렬 증명을 할 것, 다음과 같이 식의 일차 결합과 q_1 의 내적을 구하자
c_1 q_1^T q_1 = c_1 을 제외한 모든 항은 0이다. 따라서 q_1^T v = c_1 이며, 모든 q_k^T v = c_k 이다.
식(1)을 행렬방정식 v = Qc 로 쓰고, 양변에 Q^T 를 곱하면, 식 (2)가 된다. Q^Tv = Q^TQc = c 는 모든 계수 c_k = q_k^Tv 를 한 번에 계산해준다. 이것이 직교 기저(etc. 푸리에 수열) 적용의 핵심이다. 기저벡터가 정규직교할 때, 각 계수 c_1, ..., c_n 을 각각 찾을 수 있다.
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