고유값 문제

하이젠베르크 운동방정식이 고윳값 문제가 된다.

행렬을 논하려면 고유값 문제를 빼놓을 수 없다.

지금까지 우리는 스펙트럼의 진폭과 진동수를 구하고자 했다. 그리고 그것을 구하기 위해서는 하이젠베르크의 운동방정식을 풀면 된다. 

하지만 보른은 운동방정식을 풀지 않고 직접 Q, v 를 구할 수 있는 방법을 찾아냈다. 그것이 바로 고윳값 문제이다.

고유값은 행렬의 수학 문제 중 하나이다. 

1 단계 : 소문자 p, q 와 대문자 P, Q

먼저 스펙트럼의 진폭 P_nn', Q_nn' 를 모아 행렬을 만든다.

그러면 진폭을 구하는 문제를 행렬을 구하는 문제와 같은 뜻이 된다.

행렬 P, Q 는 다음과 같이 재미있는 성질이 있다.

먼저 f(p,q) = p 나 f(p,q) = q 의 경우는,

가 되고 행렬 p,q 의 요소 자체가 된다.

이제 덧셈의 경우를 살펴본다.

곱셈의 경우

또한 소문자 p, q 의 정준교환관계

를 살펴본다.

좌변의 변환 가능

여기서 정준교환관계를 이용한다.

해당 식의 의미는 n = n' 일 경우 e^(i 2 pi v_nn' t) = 1 이다.

마지막으로 해밀토니안 H(p,q) 에 관해서도 살펴본다.

가 되는데, 여기서 소문자 해밀토니안 H(p,q) 가 대각선 행렬이 되어 있다. 만약,

가 되면,

가 되어 정준교환관계일 때와 같아진다.

 

해밀토니안이 정준교환관계를 만족하고 대각선 행렬이 된다고 가정,

대문자 P, Q 의 요소를 진폭으로 갖고, 해밀토니안의 대각 요소에서 보어의 진동수 관계

로 구한 v_nn' 를 진동수로 갖는 전이성분

을 이용하여 P_nn', Q_nn' 를 요소로 가지는 소문자 행렬 p, q 도 생각해본다. 먼저 p, q 가 정준교환관계를 충족시키는지가 문제인데, 이것은 앞에서 나온 보어의 양자조건에서 정준교환관계를 유도했을 때와 마찬가지로 증명할 수 있기 때문에 생략,

남은 문제는 이것이 하이젠베르크의 운동방정식을 충족시키는가이다. 

먼저 운동량 p 에 관한 하이젠베르크의 운동방정식은

이다. 좌변과 우변의 요소가 어떻게 변화하는지 보면,

좌변은,

그리고 우변은,

인데, H(P, Q) 는 소문자 함수이고, 우변 전체도 소문자 함수이므로 소문자 = 대문자 * e^(i 2 pi v_nn' t) 를 이용할 수 있다.

곱셈을 요소 형태로 바꾼다.

대문자의 해밀토니안 H(P,Q) 는 대각선 행렬이 되므로

가 되어 다음과 같이 된다.