라그랑주와 라그랑지안 Lagrange and Lagrangian - 비슷한 이름, 다른 개념

둘 다 같은 인물, 조제프 루이 라그랑주의 이름에서 왔지만, 이 둘은 서로 다른 개념이다.

• 라그랑주 승수법은 제약이 있는 최적화 문제를 푸는 수학적 방법
• 라그랑지안은 물리계의 운동을 기술하는 함수이며, 고전역학과 장이론 전반의 핵심 언어다.

최적화 기법 

물리 법칙을 압축해 담는 함수 

 

1. 라그랑주 : 제약이 있는 최적화 언어

1-1 문제의 출발점

현실의 많은 문제는 어떤 조건 아래에서 최대 또는 최소를 찾아야 한다. 

• 둘레가 일정한 도형 중 면적이 최대인 것은 무엇인가
• 예산이 고정된 상태에서 효율을 최대화하려면 어떻게 해야 하는가
• 일정한 에너지 제약 아래에서 가능한 상태 중 가장 안정한 상태는 무엇인가

이 문제의 핵심은 다음 두 요소

• 목적 함수 : 최대화하거나 최소화하고 싶은 것
• 제약 조건 : 반드시 만족해야 하는 조건

 

1-2. 기본 아이디어

함수 f(x, y) 를 최대 또는 최소화하고 싶은데, 변수들이 아무렇게나 움직일 수 있는 것이 아닌

g(x, y) = 0

이라는 제약을 만족해야 한다고 하자.

이때 라그랑주 승수법은 다음과 같은 새로운 식을 만든다.

여기서 lambda 는 라그랑주 승수라고 부른다. 

핵심은

제약을 따로 생각하면서 최적화가 아닌 제약 조건을 식 안으로 끌어들여 한 번에 다룬다. 

• 최적화 하고 싶은 것 f
• 반드시 지켜야 하는 조건 g = 0

를 하나로 합치는 것

이것이 라그랑주 승수법의 본질

 

1-3. 왜 이런 방식이 통하는가

직관적으로, 제약 곡선 위에서 함수 f 가 극값을 가지는 점에서는, 더 이상 제약을 깨지 않고는 값을 더 키우거나 줄일 수 없다

그래서 그 점에서는 f 의 변화 방향과 제약 g 의 변화 방향이 서로 특별한 관계를 가져야 한다.

그 결과 다음 조건이 나온다.

즉, 목적 함수의 기울기와 제약 함수의 기울기가 평행해야 한다. 

제약이 없는 최적화에서는 그냥 기울기가 0이면 되지만, 제약이 있는 경우에는 허용된 방향 안에서 더 이상 움직일 수 없는 상태를 찾아야 한다. 

라그랑주 승수는 바로 이 차이를 처리해주는 장치

 

1-4 라그랑주 승수의 의미

처음에는 lambda 가 단순한 계산 보조 변수처럼 보이지만, 실제로는 의미가 깊다

lambda 는 대략적으로 말해,

제약이 문제에 얼마나 강하게 작용하는가를 나타낸다.

제약이 시스템에 미치는 영향의 크기를 드러내는 변수

 

 

2. 라그랑지안 : 운동 법칙을 담는 함수

2-1 라그랑지안은 무엇인가

라그랑지안은 보통

위처럼 쓴다

여기서

• q : 계의 상태를 나타내는 일반화 좌표
• q(dot) : 그 시간 변화율
• t : 시간

즉 라그랑지안은

상태와 그 변화율을 입력받는 함수다.

 

고전역학에선

즉

• T : 운동 에너지
• V : 퍼텐셜 에너지

의 차로 정의한다. 

 

위 모양이 아닌 라그랑지안이 계의 운동을 결정하는 핵심 함수라는 점이다

 

2-2 왜 에너지를 빼서 쓰는가

핵심은 라그랑지안이 단순히 에너지 총량을 기록하는 식이 아니라

계가 어떤 경로를 택하는지 결정하는 함수라는 점이다.

라그랑지안을 시간에 따라 적분한 값, 

즉 작용 (action)

이 특별해지는 경로를 실제 운동 경로로 택한다.

이 원리를 최소작용 원리 또는 더 정확히는 정지작용 원리라고 부른다.

즉 라그랑지안은

계가 어떻게 움직이는가를 한 번에 요약한 함수다.

 

2-3 오일러-라그랑주 방정식

라그랑지안 L 이 주어지면 실제 운동은 다음 방정식을 따른다.

이것을 오일러-라그랑주 방정식이라고 한다

이 식은 물리 내용을 더 일반적인 방식으로 표현한 것이다.

특히 복잡한 좌표계나 제약 조건이 있을 때 뉴턴식보다 훨씬 강력하다 

단순한 보조 함수가 아닌 물리 법칙을 생성하는 중심 객체