역학

물리학은 운동의 연구에서 출발한다. 운동이 시작되면, 시간에 따라 위치가 변화한다. 따라서 운동을 분석하기 위해서는 시간과 이동 거리를 측정할 수 있어야 한다.

시간

물리학은 시간의 본질을 해명하는 것이 아닌, 시간의 물리학적 의미만을 다룬다. 아인슈타인의 말에 따르면, "시간은 시계가 측정하는 것이다" 이러한 시각의 적용으로 새로운 시간 개념이 생겨나게 되었다. 

따라서 우리에게는 시계가 필요하다. 우리는 회전하는 행성에서 살고 있기 때문에 시간 단위를 정의하기 위해서 지구의 회전 운동을 고려하는 것은 당연한 일이다. 하지만 이는 지구의 운동이 비등속운동이라는 점에 오차가 발생한다.

이후 시간 단위는 세슘 원자시계를 이용해 초 단위를 결정하게 되었다. 세슘 원자가 방출하는 전자기파의 진동수와 주기를 이용하여 1초의 길이를 정한다. 

초는 세슘 원자가 바닥 상태에 있는 두 개의 에너지 준위 간의 전이에 대응하는 복사선 주기의 91억 9263만 1770 배로 정의된다.

길이

길이의 표준은 빛의 속도를 통해 정의된다.

등속 직선 운동

속도

속도는 시간당 이동 거리를 말한다. 이동 거리를 걸린 시간으로 나누면 속도를 구할 수 있다. 이때 전제로 속도가 항상 같을 경우 이러한 운동을 등속운동이라고 한다.

v = s/t

거리-시간 그래프

걸린 시간을 지속적으로 측정하면, 각 지점까지 이동하는 데 걸린 시간을 알 수 있다. 시간단 이동 거리를 표시하면 운동의 거리-시간 그래프를 만들 수 있다.

위 그래프의 직선의 기울기는 속도와 같다. 

등가속도 직선운동

자유낙하 운동

낙하 시간을 좌우하는 것은 무엇일까? 낙하 시간에 영향을 미치는 요소가 너무 많으면, 낙하 시간과 낙하 거리 사이의 연관 관계를 찾기 어려워진다. 따라서 실험을 통해 영향을 미치는 요소들을 조사해 연관 관계를 가능한 한 명확하게 밝혀야 한다.

모든 물체는 진공에서 똑같은 속도로 떨어진다. 이러한 진공에서의 낙하 운동을 자유낙하라고 한다.

자유낙하 운동의 거리-시간 법칙

낙하하는 물체는 어떤 종류의 운동을 하는가? 

자유 낙하 운동의 낙하 속도는 등속이 아니다. 이 결과는 포물선의 부분처럼 보인다. 나타나는 함수의 식은 

s=c*t^2 이고, c는 단위가 m/s^2 인 상수이다. 이제 어떤 c값이 곡선의 변화를 가장 잘 나타내는지를 검토할 수 있다. 확인해보면 c = 4.9m/s^2 의 경우가 가장 적합한 것으로 드러난다. 이 c에는 유명한 상수가 숨어 있다.

상수를 g로 표시하면, 다음 식이 나온다.

c = 1/2 * g

g는 대략 9.8m/s^2 이고, 방정식은 s = 1/2*g*t^2 이 된다. 

자유낙하 운동의 속도-시간 법칙

물체의 속도를 계산하다보면 속도가 지속적으로 변한다. 일정한 시점을 중심으로 구간을 점점 짧게 나누어 각 구간의 평균 속도를 구하면, 평균 속도가 극한값에 도달한다는 것을 알 수 있고, 이를 순간 속도라고 한다. 평균 속도는 순간 속도에 점점 근접한다.

시간 속도 그래프를 통해 속도가 일정한 비율로 변화한다는 것을 알 수 있다. 이러한 속도 변화 때문에 이 운동을 가속 운동이라 하고, 속도가 일정하게 증가하기 때문에 등가속도 운동이라고 한다. 

속도-시간 그래프에서 가속도는 직선의 기울기로 나타난다. 미분 계산을 통해 기울기인 가속도는 g의 값임을 알 수 있다.

g는 임의의 낙하 물체의 가속도인 것이다. 이 가속도를 낙하 가속도라고 한다. 

자유낙하 운동은 낙하 가속도가 g인 등가속도 운동이다.

자유낙하 운동에 대해서는 다음의 법칙이 적용된다.

거리-시간 법칙 : s = 1/2 * g * t^2

속도-시간 법칙 : v = g * t

만약 물체가 3.2 초만에 땅에 도달했다고 가정했을 때, 낙하 거리인 높이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

s = 1/2 * g * t^2 = 0.5 * 9.8 * 3.2^2 = 50.2

나아가 땅에 닿기 직전의 속도도 계산할 수 있다.

v = g * t = 9.8 * 3.2 = 31.4

다른 가속 운동

빗면을 따라 움직이는 물체도 등가속도 운동을 한다. 차이점으로 이 때, 가속도의 크기는 빗면의 기울기 각도에 따라 좌우된다.

가속도 운동을 하지만 등가속도 운동을 하지 않는 경우도 존재하고, 이 때 미분 계산을 통해 순간 가속도를 정의해야 한다.

포물선 운동

포물선 운동은 직선 운동을 하지 않는 첫 번째 예이다. 

수평 방향으로 발사한 물체의 운동

포물선 운동은 높이를 고려하지 않았을 때, 같은 속도로 직선 방향으로 날아가는 것을 볼 수 있다. (등속운동)

높이만을 고려했을 경우 자유낙하 운동에서의 같은 형태를 띄고 있다.

따라서 포물선 운동은 두 가지 운동을 한꺼번에 하는 것과 같다. 이 두 가지 운동은 서로 영향을 주지 않고 독립적으로 벌어진다.

복잡한 문제들을 이와 같이 단순한 부분 문제로 나누어 해결할 수 있다.

수평 방향으로 발사한 물체가 하는 포물선 운동에 대한 운동 법칙

목표는 일정 시점에서 포물선 운동을 하는 물체의 위치와 속도를 나타내는 방정식을 세우는 것

포물선 운동은 2차원 공간에서 벌어지므로 위치와 속도를 벡터로 표시한다.

포탄의 x 좌표는 등속운동을 나타냄에 따라 다음의 법칙에 따른다.

x = v_0 * t

y 축 방향에서는 자유낙하 운동의 법칙이 적용된다.

y = -1/2 * g * t^2

따라서 포탄의 순간 위치 벡터는 다음의 식을 가진다.

속도를 벡터로 표시하면 다음과 같다.

 

 

수평 방향으로 발사한 물체가 하는 포물선 운동의 경로 곡선

경로 곡선의 식을 세운다는 것은 x에 따라 좌우되는 y의 식을 만드는 것을 의미한다. 두 좌표는 t에 따라 달라진다. 따라서 t를 없애기 위해, x에 대한 방정식을 t의 값을 구하는 방정식으로 푼 후 이 식을 y에 대한 방정식에 대입한다.

공기의 저항이 작을 때는 두 개의 법칙과 하나의 원칙만으로도 포탄의 위치를 예측할 수 있다. 

등속 원운동

풍력 발전기의 날개는 어떤 속도로 운동할까?

속도는 이동 거리에 걸린 시간으로 나눈 값, 한 바퀴 회전하는 데 걸린 시간이 3이라고 가정, 날개 끝이 이동한 거리는 날개가 40 이라고 했을 경우 날개 끝의 속도는 다음과 같다.

v = 2*pi*r / T = 83.8m/s

선속도와 각속도

위에서 계산한 속도는 엄밀히 말해 선속도이다. 날개 끝이 이동한 선을 따라 속도를 측정하기 때문, 반지름이 작을수록 이동거리가 작아 속도도 작아지는 것, 하지만 날개의 모든 점이 일정한 시간 동안 같은 각도를 돈다. 

따라서 그 각도를 도는 데 걸린 시간으로 각도를 나눈 값인 각속도는 모든 점에서 동일하다.

라디안

반지름이 r 인 원에서 각 a 만큼 돌면, 날개 끝은 원에서 그에 상응하는 거리를 이동한다. 원에서 이 이동 거리를 이용해 각을 구하는데, 이 각이 바로 라디안이다. 

문제는 이 이동거리가 반지름에 따라 달라진다는 것이다. 따라서 이동거리를 반지름 r 로 나눔으로써 이동 거리를 규겨고하한다. 이는 단위원에서 이동 거리를 측정하는 것을 의미한다.

호의 길이가 s, 반지름이 r인 원호의 중심각이 a라면, a = s/r 을 각의 라디안이라고 한다.

풍력 발전기의 날개 끝이 360도를 돌 때, 이동 거리는 2 * pi * r 이고 각의 라디안은 2 * pi 이다. 

라디안이 주어졌을 때, 각도 구할 수 있다.

각속도는 각을 이동하는 데 걸린 시간을 의미한다. 

가속도

풍력 발전기 날개의 가속도를 구할 수도 있는데, 이 때, 가속도를 벡터로 파악해야 한다.

가속도는 항상 원의 중심을 향한다. 왜냐하면 가속도가 원의 중심을 향하지 않으면, 두 개의 성분으로 분해될 수 있기 때문이다. 이 경우, 한 성분은 구심 가속도로서 원운동을 하는 데 필요한 가속도이다. 다시 말해 원운동을 하려면 구심력이 존재해야 한다. 

또 다른 성분은 접선 가속도로서 각속도의 변화가 있을 때만 존재하고 방향은 각 순간마다 접선 방향을 향한다. 또 접선 가속도가 있으면 선속도도 변화하여 등속 원운동을 할 수 없게 한다.

반지름 벡터 r은 중심에서 원 위의 한 점을 향하는 벡터이다. 이때, 가속도 벡터 a와 가속도 절댓값에 대해서는 다음의 식이 성립한다.

v 는 선속도이고 w는 각속도이다.

이제 가속도의 절댓값을 구할 수 있다. 앞의 등속 원운동을 다룰 때 구한 속도의 값을 이용해 계산하면 다음과 같다.