4.4 역행렬

A 가 정사각행렬일 때, A^-1 과 A 를 곱하면 I 가 되는 동일한 크기의 역행렬 inverse matrix A^-1 을 살펴보자.

이 곱은 항등 행렬이 되며, 따라서 모든 벡터의 변화를 무효가 되게 한다. 따라서 A^-1Av = v 이다. 하지만 A^-1 는 존재하지 않을 수도 있다.

행렬에서는 주로 벡터 v 를 곱한다. Av = b 에서 A^-1 을 곱하면 A^-1Av = A^-1 b 가 된다. 이는 v = A^-1 b 이다. 

곱 A^-1 A 는 수를 곱한 다음 다시 그 수로 나누는 것과 같다. 수는 역수가 된다. 

A^-1 가 존재하여 다음을 만족할 때, 행렬 A 를 가역 invertible 이라고 한다. A^-1A = I, AA^-1 = I

모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다. A^-1 에 관한 여섯 개의 성질이 있다.

1. A^-1 이 존재하는 것과 소거가 n 개의 피봇을 만드는 것은 동치이다. 소거는 직접적으로 A^-1 을 사용하지 않으면서 Av = b 를 푼다.
2. 행렬 A 는 서로 다른 역행렬을 가질 수 없다. 
3. A 가 가역이면 Av = b 의 유일한 해는 v = A^-1 b 이다.
4. 영벡터가 아닌 벡터 v 에 대해 Av = 0 이라고 하자. 그러면 A 는 역행렬을 가질 수 없다. 그 어떤 행렬도 0을 v로 되돌릴 수 없다. 
   1. A 가 가역이면 Av 는 오직 0 인 해 v = A^-1 0 = 0 을 갖는다.
5. 2*2 행렬이 가역인 것과 ad - bc가 0이 아닌 것은 동치이다. 이 수 ad - bc 는 A 의 행렬식 determinant 이다. 행렬은 행렬식이 0이 아닐 때 가역이다. 이때 A^-1 가 항상 행렬식으로 나눠지는 형태를 갖는 것은 아니다.
6. 대각 행렬은 모든 대각성분이 0이 아니라는 가정 하에 역행렬을 갖는다.

곱 AB의 역행렬

0이 아닌 a와 b 에 대해 a+b 는 역수를 가질 수도, 안 가질 수도 있다. 두 수 a = 3, b = -3 은 각각 역수 1/3, -1/3 을 갖는 반면 합 0은 역수를 갖지 않는다. 하지만 이들의 곱은 역수를 갖는다.

행렬에섣 비슷하다. 곱 AB 가 역행렬을 갖는 것과 두 개의 인자 A 와 B 가 각각 가역인 것은 동치이다. 

행렬 A 와 B 가 가역일 때, AB 도 가역이다. 곱 AB의 역행렬은 다음과 같다. (AB)^-1 = B^-1 A^-1

AB의 역행렬 (AB)(B^-1 A^-1) = AIA^-1 = I

괄호를 움직여 BB^-1 를 먼저 곱했다. 이와 비슷하게 B^-1 A^-1 와 AB 의 곱은 I 와 같다. 이는 역은 반대 순서로 온다는 수학의 기본적인 법칙을 보여준다. 

가우스-조던 소거법으로 계산한 A^-1

Av = b 의 방정식은 v = A^-1 b 로 풀 수 있다. 하지만 A^-1 을 계산하고 이를 b 에 곱하는 것은 비효율적이다. 가우스-조던 소거법은 v로 직접 간다. 

이제부터 소거 또한 A^-1 을 찾을 수 있다는 것을 살펴본다.

A는 A^-1 의 첫 번째 열 v_1 과 곱하면 I 의 첫 번째 열 e_1 이 된다. 이는 방정식 Av_1 = e_1 = (1,0,0) 이다. 이때 두 개의 방정식이 더 있을 것이다. A^-1 의 각 열 v_1, v_2, v_3 은 A 와 곱하면 I 의 열이 된다.

가우스-조던 원리는 AA^-1 = I 를 푸는 것, A^-1 의 각 열을 찾는다.

일반적으로 첨가 행렬 augmented matrix [A b] 는 추가된 열 b를 더 갖고 있다. 첨가 행렬은 블록 행렬 [A I] 이다.

이로써 A^-1 의 절반까지 구했다. 처음 세 열의 행렬은 U 이다. 피봇 2, 3/2, 4/3 은 이들의 대각선에 있다. 가우스는 역대입법으로 마무리할 것이고, 조던의 아이디어는 소거를 계속하는 것이다. 

위의 행에서 행이 빼지고, 피봇 위에 0을 만든다.

마지막 단계는 각 행을 이의 피봇으로 나누는 것이다. 이때 새로운 피봇은 1이다.

 

[A I] 에서 시작하여 [I A^-1] 로 끝났다. 

A를 I 로 바꾸면서 소거 단계는 역행렬을 만든다. 

특정한 A^-1 에 대해 세 개의 성질을 살펴본다. 

1. A 가 주대각성분을 가로질러 대칭이면 A^-1 도 그렇다.
2. A 가 삼중대각 ( 0이 아닌 오직 세 개의 대각성분) 이다. 하지만 A^-1 은 full matrix 이다. 이는 우리가 역행렬을 계산하지 않는 다른 이유이다. 
3. 피봇의 곱은 A 의 행렬식이다.

A^-1 은 행렬식으로 나누는 나눗셈을 포함한다.

가우스-조던 소거법은 A^-1 의 계산량이 많은 이유를 보여준다. 우리는 n 개의 열에 대해 n 개의 방정식을 풀어야 한다. 

A^-1 없이 Av = b 를 풀기 위해 열 b 를 이용해서 열 v 를 찾는다.

비가역과 가역

핵심 질문은 어떤 행렬이 역행렬을 갖는가? 이다. 

A^-1 은 A 가 꽉 찬 n 개의 피봇을 가질 때 존재한다. 이 때 우리는 가우스-조던 소거법을 증명할 수 있다.