2.8 함수로서 도함수

고정된 수 a 에서 함수 f 의 미분계수는 

라 했다. 관점을 바꿔 a 를 변화시켜본다. 

주어진 x 에 대해 이 극한이 존재할 때 이를 f'(x) 로 대응시킨다. 따라서 f' 을 f 의 도함수라고 부르는 새로운 함수라 할 수 있고 x 에서 f'(x) 는 기하학적으로 점 (x, f(x)) 에서의 f 의 그래프에 접하는 접선의 기울기로 해석될 수 있다.

f' 는 f 로부터 유도되었기 때문에 f 의 도함수라고 부른다. f' 의 정의역은 {x|f'(x) 가 존재한다}이고, 이것은 f 의 정의역보다 크지 않다. 

다른 기호

도함수를 나타내는 몇몇 다른 기호들이 있다.

D 와 d/dx 는 도함수를 구하는 과정인 미분의 연산을 나타내기 때문에 미분연산자라고 부른다.

라이프니츠에 의해 소개된 기호 dy/dx 는 단순히 f'(x) 와 같은 의미로 생각해야 한다. 

정의

f'(a) 가 존재하면 함수 f 는 a 에서 미분가능하다고 말한다. 함수가 개구간 안의 모든 점에서 미분가능하면 함수는 그 개구간에서 미분가능하다고 한다.

연속성과 미분가능성을 갖는 함수는 다루기가 매우 편리하다. 다음 정리는 이들 성질이 어덯게 관련되어 있는지를 보여준다.

정리 : f 가 a 에서 미분간으하면 f 는 a 에서 연속이다.

함수는 언제 미분가능하지 않은가?

일반적으로 함수 f 의 그래프가 첨점이나 꼬임을 가졌을 때 f 의 그래프는 이 점에서 접선을 갖지 못하고 거기서 미분가능하지 않다.

f 는 a 에서 연속이 아니면 f 는 a 에서 미분가능하지 않다는 것을 말해준다. 따라서 불연속점에서 f 는 미분가능하지 않다.

세 번째 가능성은 x = a 일 때, 곡선이 수직접선을 갖는 것이다. x 가 a 에 접근할 때 접선이 점점 가파르게 된다는 뜻이다. 

고계도 함수

f 가 미분가능한 함수이면, 도함수 f' 도 역시 함수이고, 따라서 f' 도 도함수 f'' 을 가질 수도 있다. 이것을 f 의 이계도함수 second derivative 라고 부른다. 

라이프니츠 기호를 사용하여 y = f(x) 의 이계도 함수를 다음과 같이 나타낸다.

 

일반적으로, 이계도함수를 변화율의 변화율로 설명할 수 있다. 이것에 대한 가장 익숙한 예는 가속도이다. 가속도는 속도의 변화율이다.