3.10 선형 근사와 미분

곡선은 접점 근방에서 접선과 매우 가깝게 놓여 있음을 보았다. 실제로 미분가능한 함수의 그래픠 위의 한 점 부근을 확대함으로써, 그래프가 점점 더 접선과 같아 보인다. 이 관찰은 함수의 근삿값을 구하는 방법의 근간이 된다.

함수의 값 f(a) 를 계산하는 것은 쉽지만, f 의 근삿값을 구하는 것은 어렵거나 불가능할 수도 있다. 따라서 점 (a, f(a)) 에서 f 의 접선을 그래프로 갖는 1차함수 L 의 값을 쉽게 계산할 수 있다면 문제를 해결할 수 있다.

다시 말하면, x 가 a 에 가까이 있을 때 곡선 y = f(x) 에 대한 근사식으로 점(a, f(a)) 에서의 f 의 접선을 이용한다.

접선의 방정식과 근사식을 a 에서의 f 의 선형 근사식 또는 접선 근사식이라 부른다. 

이 접선을 그래프로 갖는 1차함수

를 a 에서 f 의 선형화라고 부른다.