4.1 최댓값과 최솟값

미분에서 가장 중요한 응용으로 최적화 문제가 있다. 

최적화 문제들은 함수의 최댓값, 최솟값을 구하는 것으로 해결가능하다. 

정의

c 를 함수 f 의 정의역 D 에 있는 어떤 수라고 하자. 그러면 f(c) 는

• D 의 모든 x 에 대해 f(c) >= f(x) 를 만족할 때 D 에서 f 의 최댓값이라 한다.
• D 의 모든 x 에 대해 f(c) <= f(x) 를 만족할 때 D 에서 f 의 최솟값이라 한다.

정의

• x 가 c 근방에서 f(c) >= f(x) 를 만족할 때 f(c) 를 함수 f 의 극댓값이라 한다.
• x 가 c 근방에서 f(c) <= f(x) 를 만족할 때 f(c) 를 함수 f 의 극솟값이라 한다.

어떤 것이 c 근방에 있다는 것은 c 를 포함하는 개구간에 있다는 뜻이다. 

 

어떤 함수들은 극값을 갖는 반면에 다른 함수들은 그렇지 않음을 알 수 있다. 

극값 정리

f 가 폐구간 [a,b] 에서 연속이면, f 는 [a,b] 의 어떤 수 c 와 d 에서 최댓값 f(c) 와 최솟값 f(d) 를 갖는다.

 

극값은 한 번 이상 나올 수 있음을 유의해야 한다. 

극값 정리는 폐구간에서 연속함수는 최댓값과 최솟값을 갖는다는 사실은 말해주지만 어떻게 이 극값을 찾는지는 말해주고 있지 않다. 최댓값과 최솟값은 극댓값이거나 극솟값이므로 극값을 찾는 것부터 시작한다.

극댓값과 극솟값에서 접선들은 수평이므로 기울기가 0임을 보인다. 미분이 접선의 기울기,

페르마 정리 

f 가 c 에서 극댓값이나 극솟값을 갖고 f'(c) 가 존재하면 f'(c) = 0 이다.

 

하지만 페르마 정리를 모든 경우에 적용할 수 없다.(y = f^3, f(x) = |x|) 미분이 가능한 연속함수여도 미분값이 0 이여도 극값이 아닐 수 있고, 미분이 불가능하더라도 극값을 가질 수 있다. 

페르마 정리를 f 의 극값을 구하기 위해서는 f'(c)=0 또는, f'(c) 가 존재하지 않는 수 e 를 찾는 데서 시작해야 됨을 말하고 있다. 이 수는 다음의 이름을 가지고 있다.

정의

함수 f 에서 f'(c) = 0, f'(c) 가 존재하지 않는 f 의 정의역에 속하는 c 를 함수 f 의 임계수 critical number 라 한다.

 

임계수라는 용어로 페르마 정리는 다음과 같이 바꿔 말할 수 있다. 

만일 f 가 c 에서 극댓값이나 극솟값을 가지면, c 는 f 의 임계수이다.

폐구간에서 연속함수의 최댓값 또는 최솟값을 찾기 위해, 이것이 국소적이 것인지 또는 구간의 끝점에서 발생하는 것인지 유의해야 한다. 그러므로 다음 세 단계를 항상 거쳐야 한다. 

폐구간법

폐구간 [a,b] 에서 연속함수 f 의 최댓값과 최솟값 구하기

1. (a, b) 에 포함된 f 의 임계수에서 f 값을 구한다.
2. 구간의 끝점에서 f 값을 구한다.
3. 위의 1과 2 단계로부터 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.