4.2 평균값 정리

평균값 정리를 얻기 위해서 우선 다음 정리가 필요하다.

롤의 정리

f 는 다음 세 가지 가정을 만족하는 함수라고 하자.

1. f 는 폐구간 [a,b] 에서 연속이다.
2. f 는 개구간 (a,b) 에서 미분가능하다.
3. f(a) = f(b)

이때, f'(c)=0 을 만족하는 수 c 가 (a,b) 안에 존재한다.

 

증명, 세 가지 경우로 나누어 증명한다.

경우 1 f(x) = k, 상수

f'(x) = 0 이므로, c 는 (a,b) 안에 어떠한 수도 취할 수 있다.

경우 2 (a,b) 안에 어떤 x 에 대해 f(x) > f(a) 

극값 정리에 의해 f 는 [a, b] 에서 최댓값을 갖는다. f(a) = f(b) 이므로 개구간 (a, b) 안에 어떤 수 c 에서 이 최댓값을 갖는다. 이때, f 는 c 에서 극대이고 f 는 c 에서 미분가능, f'(c) = 0 이다.

 

또 다른 프랑스 수학자 라그랑주에 의해 처음 언급되었던 다음의 중요한 정리를 증명할 때 롤의 정리가 사용된다.

평균값 정리 

f 는 다음 가정을 만족하는 함수라고 하자.

1. f 는 폐구간 [a, b] 에서 연속이다.
2. f 는 개구간 (a,b) 에서 미분가능하다.

이때 다음을 만족하는 수 c 가 (a,b) 에 존재한다.

 

일반적으로, 평균값 정리는 순간변화율이 어떤 구간에서 평균변화율과 같아지는 순간이 존재한다는 것으로 해석할 수 있다.

평균값정리의 가장 중요한 점은 이 정리가 어떤 함수에 대한 정보를 이 함수의 미분에 대한 정보로부터 얻을 수 있다는 것이다.