4.3 그래프의 모양을 말해주는 도함수

미분적분학의 많은 응용은 함수 f 에 대한 여러 사실들을 도함수에 관한 정보로부터 유추하는 능력에 달려 있다.

f'(x) 는 점 (x, f(x)) 에서 곡선 y=f(x) 의 기울기를 표현하기 때문에 곡선이 각각의 점에서 진행하는 방향을 알려준다. 

따라서 f'(x) 가 f(x) 에 대한 정보를 제공하리라고 기대하는 것은 무리가 아니다.

f' 은 f 에 대해 무엇을 알려주는가?

f 의 미분이 함수가 어디에서 증가 또는 감소인지를 알 수 있다. 

f'(x) 가 양수일 때 f 는 증가이고 f'(x) 가 음수일 때 f 는 감소이다. 이것이 항상 성립함을 보이기 위해 평균값 정리를 이용한다.

증가감소 판정법

• 어떤 구간에서 f'(x) > 0 이면, f 는 증가이다.
• 어떤 구간에서 f'(x) < 0 이면, f 는 감소이다.

 

증가감소 판정법을 이용하기 위해 어디에서 f'(x) > 0 이고, 어디에서 f'(x) < 0 인지를 알아야 한다. 이 부등식을 풀기 위해 f'(x)=0 의 근을 구한다. 

이 값들이 f 의 임계수이고 정의역을 각 구간으로 나눈다. 각 구간에서 f'(x) 는 항상 양수이거나 항상 음수이다. 이 중 어디에 해당하는지는 f'(x) 의 인수의 부호를 따져보면된다.

 

극값

f 가 c 에서 극대나 극소를 갖는다면 c 는 f 의 임계수이어야만 하나, 모든 임계수가 최대나 최소를 나타내는 것은 아님을 기억할 것이다. 그러므로 f 가 임계수에서 극대나 극소를 갖는지 여부를 알 수 있는 판정법이 필요하다.

f'(x) 의 부호가 바뀌는 부분으로부터 다음 판정법을 만들 수 있다.

일계도함수 판정법

c 가 연속함수 f 의 임계수라고 하자.

• 만일 f' 이 c 에서 양수에서 음수로 변한다면, f 는 c 에서 극댓값을 갖는다.
• 만일 f' 이 c 에서 음수에서 양수로 변한다면, f 는 c 에서 극솟값을 갖는다.
• 만일 f' 이 c 에서 부호가 변하지 않는다면 f 는 c 에서 극대나 극소를 가지지 않는다.

일계도함수 판정법은 증가감소 판정법에 따른 것이다. 

 

f'' 은 f 에 대해 무엇을 말하는가?

두 개의 증가함수 그래프, 이들 그래프는 점 A 와 점 B 를 연결하지만 다른 방향으로 굽어 있으므로 다르게 보인다. 

a 에서의 곡선은 접선 위에 있는데 이때 f 를 (a,b) 에서 위로 오목이라고 부른다. b 에서의 곡선은 접선 아래에 있는데 아래로 오목이라고 부른다.

정의

f 의 그래프가 구간 I 에서 함수의 모든 접선 위에 존재한다면 이것은 I 에서 위로 오목이라고 부른다. f 의 그래프가 구간 I 에서 함수의 모든 접선 아래에 존재한다면 이것은 I 에서 아래로 오목이라고 부른다.

오목성 판정법

• I 의 모든 x 에 대하여 f''(x) > 0 이라면, f 의 그래프는 I 에서 위로 오목하다.
• I 의 모든 x 에 대하여 f''(x) < 0 이라면, f 의 그래프는 I 에서 아래로 오목하다.

정의

곡선 f 가 점 P 에서 연속이고 곡선이 그곳에서 위로 오목에서 아래로 오목으로 또는 아래로 오목에서 위로 오목으로 변한다면, 그 곡선 위의 점 P 를 변곡점 inflection point 라고 부른다.

 

이계도 함수의 다른 응용은 극대와 극소에 대한 다음의 판정법이다.

이계도함수 판정법

f'' 이 c 근방에서 연속이라고 하자

• f'(c) = 0 이고 f''(c) > 0 라면, f 는 c 에서 극소를 갖는다.
• f'(c) = 0 이고 f''(c) < 0 라면, f 는 c 에서 극대를 갖는다.