5.2 정적분

넓이를 계산할 때 다음 형태의 극한이 나타난다는 사실을 알아보았다.

함수 f 가 반드시 양의 값을 갖는 함수가 아닐지라도 이러한 동일한 형태의 극한이 나타난다는 것을 알 수 있다. 

정적분의 정의

만일 함수가 a <= x <= b 에서 정의된 연속함수이면, 구간 [a,b] 를 동일한 폭을 갖는 n 개의 부분 구간들로 나누자. 이 부분 구간들의 끝점으로 두고 x_1^* ... 들을 이 부분 구간들의 임의의 표본점이라 두면 x_i^* 은 i 번째 부분 구간에 놓인다. 그러면 a 에서 b 까지의 f 의 정적분은

이다. 단 이 극한이 존재하고 표본점을 어떻게 잡더라도 그 값들이 동일하다고 가정한다. 이 극한이 존재할 때 f 는 [a,b] 에서 적분가능 integrable 이라 한다. 

 

라이프니츠가 고안한 기호는 적분기호이다. 이 기호는 S 를 늘려 놓은 형태이며, 적분의 합은 극한이기 때문에 선택되었다. f(x) 를 피적분함수, a 와 b 를 적분의 한계라 부르고 a 는 하한, b 는 상한이라 한다. 기호 dx 는 그 자체로는 의미를 갖고 있지 않으며, 모두 한 기호를 의미한다. dx 는 단순히 독립변수가 x 임을 표시하는 기호이다. 적분을 꼐산하는 과정을 적분법이라 한다.

함수 f 가 양의 값을 가질 때 리만합은 직사각형들의 넓이의 합으로 해석될 수 있다. 

 

적분 계산

정적분을 계산하기 위해 정의를 이용할 때 합을 다루는 방법을 알아야 한다. 다음 세 가지 공식은 양의 정수의 거듭제곱의 합에 대한 공식이다. 

중점 법칙

정적분의 성질

정적분을 정의할 때 a < b 라고 암묵적으로 가정, 그러나 리만합의 극한으로서 그 정의는 a > b 일 경우도 의미가 있다.