pattern recognition and machine learning 1-8

변수 변환을 이용하여 단변량 가우시안 분포의  

평균값 매개변수 mu 가 x 의 기댓값과 동일하다는 것을 확인

E[x] = mu

 

정규화 조건식의 양쪽 변을 sigma^2 에 대해 미분해서 

가우시안 분포의 E[x^2] 성질을 만족함을 증명,

마지막으로 var[x] = E[x^2] - E[x]^2 = sigma^2 의 증명

 

먼저 변수 변환

y = x - mu 의 변수 변환이 필요한 이유?

We now note that in the factor (y + mu) the first term in y corresponds to an odd integrand and so this integral must vanish ( to show this explicityl, write the integral as the sum of two integrals, one from -INF to 0 and the other from 0 to INF and then show that these two integrals cancel).

y - mu 에서 첫 번째 항 y 는 홀수 적분에 해당하므로 사라져야 한다. 

In the second term, mu is a constant and pulls outside the integral, leaving a normalizaed Gaussian distribution which integrates to 1, and so we obtain

두 번째 항에서 mu 는 상수이고 적분 바깥쪽으로 당겨져 1로 적분되는 정규화된 가우시안 분포를 남겨 1.49를 얻는다.

두 번째 항까지는 단순 변수 변환 과정,

이후 셋째 항은 (y + mu)의 분리, 적분 분배법칙 성립, 

앞서 증명한 내용에 의해 각 적분값이 1, 0 임을 알 수 있다. 

 

 

다음 문제로 정규화 조건식의 양쪽 변을 sigma^2 에 대해 미분하여 가우시안 분포의 E[x^2] 식 증명

미분 공식 확인