파동 함수의 normalization condition, 확률적 해석을 위해 임의로 만든 방정식이네...

파동 함수 ψ(x, t) 는 입자의 위치와 시간에 대한 복소수 함수, 그 절댓값의 제곱이 확률 밀도로 해석된다.

 

이러한 normailzation 의 이유는 파동 함수 자체를 통계적 해석을 위함으로써 작동하는 것

 

PSI(x, y) : 시간 t 일 때 입자가 위치 x 에 있을 확률 진폭 probability amplitude (복소수), 이를 확률 밀도로 해석하려면 절댓값의 제곱이 확률 분포의 조건을 만족해야 한다

 

파동 함수는 실수 + 허수 형태를 가질 수 있다.

PSI(x, t) = a(x, t) + ib(x, t)

단순 제곱을 할 경우 여전히 복소수가 됨

 

* 기호 : complex conjugate (asterisk, 복소수의 켤레 )\

z = a + ib, z* = a - ib

 

파동함수를 t = 0 에서 규격화하면, 모든 시간 t 에 대해서도 규격화 상태는 유지된다. ( 다만 이는 파동함수가 슈뢰딩거 방정식을 따른다는 전제 하에서만 성립 )

 

1. 규격화 조건

파동함수 PSI(x, t) 가 시간 t 에 따라 진화하더라도, 다음 조건이 항상 유지되길 바란다.

 

2. 시간에 따른 진화 : 슈뢰딩거 방정식

 

슈뢰딩거 방정식은 유니터리 unitary 한 진화를 생성한다.

유니터리한 연산자는 벡터의 노름을 보존

한 번 규격화된 상태는 시간이 지나도 규격화가 유지됨

 

슈뢰딩거 방정식은 파동함수가 확률 진폭이고, 그 절댓값 제곱이 확률 밀도라는 통계적 해석을 만족하도록 의도적으로 설계된 방정식입니다.
다시 말해, **확률 보존(= normalization 유지)**이 반드시 되도록 염두에 두고 만들어진 겁니다.

 

✅ 1. 슈뢰딩거 방정식의 등장 배경

1926년, 슈뢰딩거는 다음과 같은 고민에서 출발했습니다:

• 파동처럼 행동하는 입자를 수학적으로 어떻게 기술할까?
• 드브로이의 물질파 개념과 에너지-운동량 관계 E=ℏω,p=ℏk 를 바탕으로
• 고전 파동 방정식을 양자역학에 맞게 변형한 것이 슈뢰딩거 방정식입니다

 

✅ 2. Born 해석과 normalization

하지만 초기에는 ψ 를 무엇으로 해석할지 명확하지 않았습니다.

• **막스 보른(Born)**이 제안한 해석 (1926):
• 파동함수 ψ(x,t) 자체가 물리적 대상이 아니라,
  |ψ(x,t)| ^2 가 확률 밀도라고 보자.

이 해석이 받아들여지면서, 다음 조건이 물리적 필수 조건이 됩니다:

 

 

Hilbert space 와 Unitary 

힐베르트 공간은 양자역학과 함수해석학의 핵심 개념, 기초적인 선형대수학 개념을 확장한 것

 

힐베르트 공간은 무한 차원의 유클리드 공간, 다음을 모두 만족하는 공간

1. 벡터 공간
2. 내적이 정의되어 있음
3. 노름이 존재함 ( 내적으로부터 유도 )
4. 완비성 Completeness -> 모든 코시 수열 cauchy sequence 이 수렴할 수 있는 점이 공간 안에 있음

무한 차원의 함수 공간이라도 유클리드 공간처럼 잘 작동하는 구조

코시 수열 cauchy sequence

 

수렴 개념을 거리의 관점에서 추상화한 것, 수열의 수렴을 보다 일반적인 공간에서도 정의할 수 있게 해주는 중요한 도구,

 

1. 직관 : 안에서 스스로 수렴하려는 성질

보통의 수렴하는 수열 a_n -> L 은 어떤 수, L 에 가까워지는 걸 의미, 이걸 몰라도 수열의 항들이 점점 가까워진다면 결국 어딘가로 수렴할 것이라는 직관

 

코시 수열과 수렴의 관계

실수,  R 나 복소수 C 와 같은 공간에서는, "코시 수열이면 반드시 수렴한다" 이런 공간을 complete space, 완비 공간이라고 한다.

 

힐베르트 공간은 모든 코시 수열이 수렴하는 완비 벡터 공간이다. 

때문에 힐베르트 공간은 무한차원이라도, 수열의 내재적 수렴 성질만으로도, 항상 공간 안에 한계점이 존재함을 보장한다.