운동량

PSI 상태 : 양자계의 상태를 나타내는 힐베르트 공간 벡터

psi(x) : 위치 표현에서의 파동함수

 

PSI 상태에 있는 입자에 대한 x 의 기댓값

Expectation value, 기댓값

<x> 은 psi 상태에서 입자의 평균 위치를 의미한다. 이는 실험적으로 같은 상태를 여러 번 반복 측정했을 때 얻어지는 평균값

 

수학적 정의 (파동함수 표현)

 

파동 함수의 중심이자, 움직임을 추적할 수 있는 평균 위치

시간에 따라 <x(t)> 이 어떻게 변하는지는 운동 방정식에 해당

 

양자역학에서는 관측 가능한 물리량 ( 관측량, observable) 들은 모두 연산자 operator 로 표현된다. 그리고 그 물리량의 기댓값 expecttation value 는 다음과 같이 계산된다.

 

왜 연산자를 사이에 끼워넣는 방식인가??

기댓값 = 평균값 - 확률 가중 평균

확률 밀도 : |psi(x)|^2 = psi*(x) psi(x)

 

고전 역학에서, 위치 운동량, 에너지 등은 숫자 함수로, 단순한 값임

양자역학에서는

관측 가능한 물리량은 연산자로 표현된다.

 

고전역학에서의 기댓값,

입자가 위치 x 에 있을 확률 밀도가 p(x) 라면, 물리량 A(x) 의 평균은 

p(x) 는 항상 실수 확률 밀도이므로 곱해서 적분하면 됨

 

양자역학에서는 상태가 복소수 : PSI(x)

 

문제는 운동량 같은 연산이 단순한 곱셈이 아니라 연산자라는 점

운동량 연산자는 다음과 같이 미분 연산자이다.

즉, 이건 단순히 어떤 값과 곱하는 게 아니라, 함수 phi(x) 에 작용해서 다른 함수로 바꾸는 연산자

연산자는 phi 에 작용해서 새로운 함수를 만들고, 그 결과를 phi* 과 내적해야 기댓값을 의미 있게 정의할 수 있다.

 

기댓값은 내적으로 정의됨 ( 힐베르트 공간 관점 )

양자역학에서는 상태 |phi> 가 힐베르트 공간의 벡터이기 때문에, 기댓값은 벡터 사이의 내적 형태로 표현해야만 한다.

직관적으로 보면

• A^ | phi > : phi 상태에 연산자 A^ 가 작용해 새로운 상태 벡터 생성
• <phi | : 원래 상태의 복소수 켤레
• 그 둘의 내적 -> 원래 상태와 연산된 상태의 유사도 -> 기댓값

 

왜 끼워 넣는가? : 연산자는 phi 를 작동시켜 다른 함수로 만들고 그걸 원래 상태 phi* 와 내적해서 평균을 구한다.