왜 높은 엔트로피 상태가 더 많은가? - 상태공간 부피 관점에서 보는 엔트로피

“엔트로피가 높다”는 말을 감각적으로 바꾸면 사실 이런 뜻입니다.

그 거시 상태를 실현하는 미시 상태가 훨씬 더 많다.

그리고 이 “많다”를 상태공간 관점에서 보면,
그 거시 상태가 차지하는 상태공간의 부피가 더 크다는 말로 이해할 수 있습니다.

향수 예시로 천천히 이어가보자

 

1. 먼저 핵심 문장 하나

통계역학에서 엔트로피는 대략 이런 감각

같은 거시 조건을 만족하는 미시 상태가 많을수록 엔트로피가 크다

볼츠만 식으로 쓰면 

• S : 엔트로피
• k_B : 볼츠만 상수
• OMEGA : 그 거시 상태에 대응하는 미시 상태 수

즉, 엔트로피는 무질서라는 추상적 말보다,

가능한 미시적 경우의 수의 로그라고 보는 쪽이 더 정확하다

 

2. 향수 예시에서 거시 상태와 미시 상태

방 안에 향수 분자들이 있다고 하자.

미시 상태

미시 상태는 아주 구체적

• 1번 분자가 어디 있는지
• 2번 분자
• 3번 분자
• 각 분자의 속도가 어떤지

이런 정보가 정부 정해진 한 순간의 완전한 배치이다.

즉, 상태 공간의 한 점이다

 

거시 상태

반면 거시 상태는 훨씬 거칠다

예를 들어

• 향수가 반 왼쪽 구석에 몰려 있다.
• 방 전체에 대체로 퍼져 있다.

이런 식이다.

이 말은 분자 하나하나를 지정하지 않는다.

그 대신 많은 미시 상태들을 한꺼번에 묶어서 서술한다.

 

3. 왜 퍼진 상태가 더 많은가

이제 가장 중요한 질문

왜 방 전체로 퍼진 상태가 한쪽에 몰린 상태보다 더 많은가

이유는 조합론적으로 보면 자명하다. 

향수 분자 N 개 가 있다고 하자

경우 1 : 한쪽 구성게 몰린 상태

대부분의 분자가 방의 아주 작은 한 영역에 있어야 한다는 강한 제약이 붙는다. 즉, 가능한 배치가 매우 제한적이다.

경우 2 : 방 전체에 퍼진 상태

분자들이 방 전체 여기 저기에 분포해도 된다.

즉 조건이 훨씬 느슨하다. 가능한 배치 수가 압도적으로 많아진다.

 

4. 아주 단순한 비유

방을 100 개의 칸으로 나누고, 향수 분자 10 개를 넣는다고 하자 

이제 두 거시 상태를 비교

A 모든 분자가 왼쪽 첫 10 칸 안에 있다

이건 매우 제한적, 10개 분자가 움직일 수 있는 칸이 10 개 뿐

B 분자들이 100 칸 전체에 자유롭게 퍼져 있다.

이건 훨씬 덜 제한적

분자의 위치 선택지가 엄청 ㅁ낳아진다.

즉, B 에 해당하는 미시 상태 수가 A 보다 압도적으로 크다. 그래서 계가  시간에 따라 움직일 때, 특별한 이유가 없다면 작은 집합보다 큰 집합에 들어가 있을 가능성이 압도적으로 높아진다. 

이게 바로 계가 높은 엔트로피 상태로 간다의 실질적인 뜻

 

5. 상태 공간 부피로 보면

상태 공간의 한 점 vs 상태 공간 간의 거대한 영역

 

6. 왜 로그를 취하는가?

볼츠만 식에서 왜 ln OMEGA 인지도 감각적으로 중요

미시 상태 수 OMEGA 는 계 크기가 커지면 말도 안 되게 커진다. 

로그를 취해

• 독립한 두 계를 합칠 때 엔트로피를 더하는 성질

을 유도한다.