최소 작용의 원리 - 국소적 운동법칙과 전역적 경로 조건은 어떻게 같은 운동을 표현하는가 : 변분 원리에서 부터 사직

변분 원리란 무엇인가?

가능한 여러 함수나 경로 가운데, 어떤 전체적인 양의 1차 변화가 사라지는 함수나 경로가 실제 해가 된다는 원리, 

 

1. 일반적인 최적화와 무엇이 다른가?

보통의 최적화에서는 숫자 변수를 변화

 

변분 문제에서는 숫자 하나가 아닌, 함수 전체를 움직인다. 

예를 들어 두 점을 연결하느 ㄴ경로 

• y = y(x)

를 생각

이 경로에 전체 길이

• J[y]

를 대응

 

그러면 문제는 

가능한 모든 함수 중에서 J[y] 가 정지하는 함수를 찾아라

일반 미적분에서와 달리 변분법에서는

함수의 모양 전체를 조금 바꾼다.

 

2. 함수와 범함수

변분 원리를 이해하기 위해 함수와 범함수를 구분해야 한다. 

일반 함수는 숫자를 입력받아 숫자 출력

범함수는 함수를 입력받아 숫자를 출력

 

곡선의 길에서

입력은 하나의 숫자가 아니라 곡선 전체, y(x)

 

작용도 같은 구조

작용은 경로를 입력받는 범함수

 

3. 변분이란 무엇인가

경로 x(t) 의 모양을 아주 조금 바꾼다.

 원래 경로 주변의 아주 가까운 경로들을 조사하는 것

 

4. 1차 변화가 0이라는 의미

경로를 아주 조금 바꾸었을 때, 작용은 1차적으로변하지 않음,

더 작은 크기로 나타난다.

이는 일반 함수에서 극값 근처의 모습과 비슷

정지점에서는 1차 변화가 사라짐

변분 원리는 이 개념을 함수 공간으로 확장한 것

 

5. 왜 모든 변형에 대해 0 이어야 하는가

특정한 한 가지 경로 변화에 대해서만 성립하는 조건이 아니다.

모든 허용 가능한 변형에 대해 성립해야 한다.

 

6. 오일러 라그랑주 방정식의등장

전체 함수에 대한 정지 조건 ->  각 지점에서 성립하는 미분방정식

 

7. 가장 직관적인 예 : 두 점을 잇는 최단경로

평면 위의 두 점을 연결하는 곡선

가능한 모든 곡선 중 가장 짧은 곡선을 차고 싶음

오일러0라그랑주 방정식

...

직선이 나온다

• 두 점을 연결하는 전체 길이를 최소화한다

는 전역적 문제로부터

• 곡선의 기울기가 각 지점에서 일정하다

는 국소적인 조건이 나온다.

 

변분 원리의 핵심

• 가능한 경로 전체를 대상으로 정의된 정지 조건이, 각 순간에 성립하는 국소적인 방정식으로 변환된다.