📑 Implementation: Qubit Operations as Matrix Transformation

양자 알고리즘의 모든 과정은 결국 기저 Basis 를 회전시키고, 확률 진폭을 간섭시켜서 원하는 답의 투영 Projection 값을 극대화하는 과정이다.

1. 상태의 정의 : 2차원 복소 벡터 (The Qubit)

하나의 큐비트는 2차원 힐베트르 공간의 단위 벡터이다.

• Computational Basis (Standard Basis)

• Superposition (선형 결합)

단, alpha^2 + beta^2 = 1 로 벡터의 길이는 항상 1이어야 함

 

2. 연산의 정의: 유니터리 행렬 (The Gates)

큐비트의 상태를 바꾸는 게이트는 벡터의 길이를 보존하는 2x2 유니터리 행렬이다.

• Pauli-X Gate (NOT 연산) : 비트를 반전시키는 선형 변환

• Hadamard Gate (중첩 생성): 결정론적 상태를 확률적 상태(중첩)로 만드는 핵심 변환

이는 기하학적으로 보면 기저를 45 회전시키는 것과 같다.

 

3. 알고리즘의 구조 : 연산의 합성 (Operator Composition)

여러 게이트를 통과하는 것은 행렬의 곱셈(Composition)으로 표현된다.

1. 초기화
2. 연산 적용

 

4. 측정: 확률적 투영 (The Collapse)

계산이 끝나고 우리가 값을 읽는 순간(측정), 벡터는 성분 중 하나로 투영된다.

• z-측정 : 상태를 측정하면
  • |0) 이 나올 확률 : |alpha|^2
  • |1) 이 나올 확률 : |beta|^2
• insight : 알고리즘의 목표는 U_{total} 을 잘 설계하여, 정답에 해당하는 고유값의 확률 진폭을 1에 가깝게 키우는 것이다.