양자역학은 왜 선형대수학을 사용하는가

거시 세계는 물체가 어디에 있고, 어느 방향으로 가느냐를 따지지만, 양자세계는 정보가 어떤 상태로 겹쳐 있고, 어떻게 변하느냐를 따진다. 이 상태와 변활르 다루기에 선형대수보다 완벽한 언어는 없다.

 

1단계 : 상태는 곧 방향이다. (벡터)

거시 세계에서 사과의 상태는 빨갛다, 맛있다 같은 형용사나 좌표로 설명한다. 하지만 양자 역학에서는 상태를 화살표로 그란다.

• 왜 화살표인가? - 양자 세계의 가장 큰 특징은 중첩(Superposition) 이다.
• 0 일 수도 있고 1 일 수도 이쓴ㄴ 상태를 표현하려면, 두 방향의 화살표를 합쳐서 새로운 방향의 화살표를 만드는 벡터의 덧셈이 필요하다.
• 결론 : 양자 상태가 중첩되어 있다. = 두 벡터를 더해서 새로운 벡터를 만들었다.

 

2 단계 : 관측은 그림자 내리기 이다. ( 내적과 투영 )

우리가 양자 상태를 측정하면, 중첩되어 있던 상태가 하나의 결과로 확정된다. 이것은 선형대수에서는 투영 Projection 이라고 한다.

• 화살표에 손전등을 비춰서 바닥에 생기는 그림자의 길이를 재는 것과 같다
• 그림자가 길수록 그 결과가 나타날 확률이 높다고 해석한다.
• 결론 : 측정한다 = 상태 벡터를 특정 기저 위로 투영하여 성분을 추출한다.

 

3 단계 : 물리량은 움직임이다 (선형 변환)

위치, 운동량, 에너지 같은 물리량은 고정된 숫자가 아니다. 어떤 상태를 다른 상태로 바꾸는 연산이다.

• 에너지를 가한다는 것은 상태 화살표를 특정 방향으로 회전시키거나 늘리는 행위와 같다
• 이때 선형이라는 조건이 중요한데, 이는 중첩된 상태에 연산을 가한 결과가, 각각의 상태에 연산을 가해 더한 결과와 같다는 뜻이다. 
• 결론 : 물리적 상호작용 = 행렬 곱셈을 통한 벡터의 변환

 

4단계 : 안정적인 상태는 고유벡터이다. (Eigenvalue)

어떤 연산을 가했을 때, 화살표의 방향은 변하지 않고 길이만 변하는 특별한 상태가 있다. 이것이 바로 고유벡터 Eigenvector 이다.

• 우리가 에너지를 측정했을 때 얻는 값들은 바로 이 연산자의 고유값 Eigenvalue 들이다.
• 원자 속 전자가 특정 궤도에 안정적으로 머무는 이유는, 그 상태가 시스템의 에너지를 정의하는 행렬의 고유상태이기 때문이다.
• 결론 : 안정된 물리적 수치 = 행렬의 고유값

 

5 단계 : 정리 - 왜 선형대수인가

양자역학의 핵심 논리는 다음과 같이 요약된다.

• 세상은 중첩되어 있다. - 벡터의 합으로 표현 가능
• 변화는 규칙적이다 - 선형 변환으로 표현 가능
• 측정은 확률적이다 - 내적으로 표현 가능

결국 양자역학은 힐베르트 공간이라는 무대에서 벡터들이 행렬이라는 규칙에 따라 움직이는 셈이다.