상태(벡터) 가 정해진 후, 그 화살표를 움직여서 실제로 일을 하게 만드는 연산자 (Operator) - Linear Transformation

3단계 : 물리량은 상태를 변화시키는 행렬이다

양자역학에서 위치, 운동량, 에너지 같은 물리량은 고정된 숫자가 아니다. 어떤 상태 화살표를 넣으면 다른 방향의 화살표로 바꿔서 내뱉는 행렬 혹은 함수이다. Matrix or Operator

 

1. 연산자는 화살표를 회전시키거나 늘리는 손이다.

벡터 공간에서 행렬이 하는 일은 딱 두가지이다. 화살표를 회전시키거나 길이를 조절하는 것이다.

• 예시 : 어떤 전자의 에너지를 알고 싶다면, 그 전자의 상태 벡터와 에너지 연산자를 곱한다.
• 결과적으로 상태 벡터는 새로운 방향으로 변하거나 특정 상수가 곱해진 형태가 된다.

 

2. 왜 선형 Linear 이어야만 하는가

이 부분이 물리적으로 매우 중요, 양자 세계의 대우너칙인 중첩의 원리 를 깨뜨리지 않기 위해서

• 중첩된 상태 (A + B) 에 연산을 가한 결과는, 각각에 연산을 가한 뒤 더한 것과 반드시 같아야 한다.
• 이 성질이 보장되어야만 복잡한 시스템을 잘게 쪼개서 분석한 뒤 나중에 합쳐도 물리 법칙이 어긋나지 않는다.

 

3. 에르미트 연산자 : 결과는 반드시 실수여야 한다

연산자 중에서도 물리량을 나타내는 연산자는 아주 특별한 성질 (에르미트, Hermitian) 을 가진다

• 선형대수적으로는 행렬의 행과 열을 바꾸고 켤레 복소수를 취했을 때 자기 자신과 같은 행렬을 말한다.
• 이유 : 이 행렬의 고유값은 무조건 실수로 나오기 때문이다. 우리 세계의 에너지가 복소수로 측정될 수 없기 때문

 

4 단계 : 측정의 순간 - 가장 자연스러운 상태를 찾아서

연산자가 벡터를 마구 휘두르다 보면, 방향은 변하지 않고 길이만 변하는 특별한 상태를 만난다, 이를 고유 상태라고 부른다. Eigenstate

• 고유값 문제 : 연산자를 곱했는데 화살표 방향은 그대로고 크기만 변했다면, 이 때의 크기가 우리가 실제로 보게 되는 측정값
• 물리적 의미 : 우리가 이 전자의 에너지는 10eV 다 라고 측정하느 ㄴ순간, 그 전자는 에너지가 10인 고유상태라는 아주 안정적인 기저 위로 투영된 것