시간 진화 - 벡터의 부드러운 회전

5 단계 : 시간 변화는 부드러운 회전이다.

양자역학에서 시간이 흐른다는 것은 상태 화살표가 힐베르트 공간 안에서 부드럽게 움직이는 과정, 이에는 아주 중요한 규칙이 있다.

 

1. 확률은 변하지 않는다 (Unitary Evolution)

시간이 흘러도 입자가 존재할 확률의 총합은 변하면 안된다. 즉, 화살표의 길이는 변하지 않아야 한다.

• 화살표의 길이를 유지하면서 방향만 바꾸는 변환을 선형대수에서는 유니터리 변환이라고 한다.
• 마치 구체 위에서 화살표가 미끄러지듯 회전하는 것과 같다.

 

2. 슈뢰딩거 방정식 : 어떻게 회전할 것인가?

슈뢰딩거 방정식은 복잡한 미분방정식이 아니라 시간이 지남에 따라 화살표를 어느 방향으로, 얼마나 빨리 회전시킬 것인가를 알려주는 지침서

• 여기서 해밀토니안이 회전의 축과 속도를 결정
• 에너지가 높을수록 화살표는 더 빠르게 회전한다.

 

3. 지수 함수로 표현되는 변화

• 선형대수학에서 행렬을 지수 위에 올리는 것은 그 행렬이 정의하는 방식대로 회전을 수행하라는 명령이다
• 결국 미래의 상태는 현재의 상태 벡터에 시간 진화 행렬을 곱한 결과물일 뿐이다.

 

6 단계 : 전체 구조의 완결

1. 준비 : 상태를 벡터로 정의
2. 흐름 : 시간이 흐르면 벡터는 유니터리 행렬에 의해 공간 속을 회전한다
3. 상호작용 : 물리적 자극을 주어 벡터의 방향을 바꾼다.
4. 결과 : 특정 순간에 측정을 하면, 그 벡ㄱ터가 가장 가까운 고유벡터 위로 투영되며 그 값이 현실로 나타난다.