1.1 함수의 네 가지 표현 방법

• 원의 넓이 A 는 원의 반지름 r 에 영향을 받는다. r 과 A 를 연결하는 법칙은 방정식 A = pi*r^2 로 주어진다. 각각의 양수 r 에 대하여 A 의 값이 하나로 결정되므로 A 는 r 의 함수라고 한다.
• 세계인구 P 는 연도 t 에 영향을 받는다. 각각의 연도 t 에 대하여 대응되는 P 의 값이 하나 있으므로 P 는 t 의 함수라고 한다.
• 편지 한 통을 우편으로 보내는 요금 C 는 편지의 무게 w 에 따라 결정되는 규칙이 있다.
• 지진이 일어났을 때 지진계에 의해 측정된 수직 가속도 a 는 경과한 시간 t 의 함수이다. 

각각의 예들은 주어진 수에 대하여 다른 수가 어떻게 대응되는지 그 규칙을 말해준다. 

함수 f 는 집합 D 의 각 원소 x 에 대하여 집합 E 에 있는 오직 한 원소 f(x) 에 대응시키는 규칙이다.

집합 D 를 함수의 정의역 domain 이라 하고, f(x) 를 x 에서 f 의 함숫값이라 한다. f 의 치역은 x 가 정의역에서 변할 때 f(x) 의 모든 값들의 집합이다. 

함수 f 의 정의역에서 임의의 수를 나타내는 x 를 독립변수 independent variable 라 하고, f 의 치역에 있는 수를 나타내는 f(x) 를 종속변수 dependent variable 라 한다. 예1 에서 r 은 독립변수이고 A 는 종속변수이다.

함수의 표현

함수를 표현하는 네 가지 방법이 있다.

• 말
• 수치
• 시각
• 대수식

하나의 함수가 네 가지 방법 모두로 표현이 가능하면, 그 함수에 대한 또 다른 특성을 알기 위해서 한 가지 표현에서 다른 표현으로 바꾸는 것이 유익하다. 

 

함수의 그래프는 xy 평면에서 곡선이다. 그러나 xy 평면에 있는 어떤 곡선이 함수의 그래프인가 하는 의문이 생긴다. 이것은 다음 판정법에 의해 해결된다.

수직선 판정법

xy 평면에서의 곡선이 x 에 관한 함수의 그래프일 필요충분조건이 곡선과 두 번 이상 만나는 수직선이 없는 것이다.

각 수직선 x = a 가 오직 한 점 (a, b) 에서 곡선과 만나면, 오직 하나의 함숫값이 f(a) = b 로 정의된다. 그러나 수직선 x = a 가 곡선과 두 번 (a, b), (a, c) 에서 만나면 곡선은 함수를 표현하지 못하는데, 함수는 a 에 관해 서로 다른 두 값을 가질 수 없기 때문이다. 

조각함수

정의역이 각 부분에서 서로 다른 수식으로 정의되어있다. 이런 함수를 조각함수 piecewise function 이라 한다.

대칭

함수 f 가 정의역에 있는 모든 x 에 대하여, f(-x)=f(x) 를 만족하면, f 를 우함수라 한다. 우함수의 기하학적 의미는 그래프가 y 축에 대하여 대칭이라는 점이다.  

f 가 정의역에 있는 모든 x 에 대하여 f(-x)=-f(x) 를 만족하면, f 를 기함수라 한다. 

증가함수와 감소함수

구간 I 에 속하는 모든 x_1, x_2 에 대하여 x_1 < x_2 이면, f(x_1) < f(x_2) 일 때, 함수 f 는 I 에서 증가함수라 한다. 반대의 경우 감소함수라 한다.