1.2 수학적 모델

수학적 모델은 실세계 현상에 대한 수학적인 설명이다. 모델의 목적은 현상을 이해하고 미래를 예측하는 것이다.

1. 첫 번째 작업은 독립변수와 종속변수를 알아내어 이름을 붙이고 수학적으로 다루기 쉽게 현상을 단순화하는 가정을 만들어 수학적 모델을 식으로 나타내는 것이다. 물리적 상황에 대한 지식과 수학적인 기능을 사용해서 이 변수들에 관한 방정식을 세운다. 적용할 물리적 법칙이 없을 때는 자료를 수집하고 수집한 자료에서 특별한 패턴을 찾기 위해 표를 만들어서 자료를 조사한다. 
2. 수학적 결론에 도달하기 위해 식으로 표현한 수학적 모델을 우리가 이미 알고 있는 수학에 적용시키는 것이다. 
3. 수학적 결론을 내리고 해석하여 실세계 현상에 대한 설명이나 예측을 제시한다.
4. 이 예측을 사용하여 새롱누 실제자료에 적용해 보면서 예측을 시험한다. 예측이 실제와 잘 맞지 않는다면, 모델을 개선하던가 새로운 모델을 만들어서 이 과정을 다시 시작한다.

수학적 모델은 물리적 상황을 완벽하고 정확한 표현을 할 수는 없다. 단지 이상적인 상황일 뿐이다. 좋은 모델은 수학적 계산이 가능하도록 실제를 충분히 단순화하지만, 가치있는 결론을 도축하도록 충분히 정확해야 한다. 

모델의 한계를 깨닫는 것은 중요하다. 결국에는 자연현상이 최종적인 결론을 말해준다.

선형모델

y 가 x 의 1차함수라는 말은 그 함수의 그래프가 직선임을 의미하며, 직선방정식의 기울기-절편 형식을 이용하여

1차 함수의 특징은 일정한 비율로 증가한다는 것이다. 그러므로 기울기는 x 에 대한 y 의 변화율로 해석할 수 있다.

모델을 공식화하는 데 도움이 되는 물리적 법칙이나 원리가 없다면, 모아진 자료에 기초한 경험적 모델을 만들어야 한다. 그리고 자료점들의 기초적인 경향을 파악할 수 있도록 자료에 적합한 곡선을 찾는다. 

다항식

함수 P 가 

로 표현되면 P 를 다항식 polynomial 이라고 한다. n 은 음이 아닌 정수이고 a 는 상수들로서 다항식의 계수 coefficients 라고 한다. 모든 다항식의 정의역은 R = (-INF, INF) 이다. 

최고차항 계수가 a_n != 0 이면, 다항식의 차수는 n 이다.

1차 다항식은 일차 함수이다. 2차 다항식은 이차함수라고 한다. 

다항식은 자연과학과 사회과학에서 발생한느 다양한 양을 모델화하는 데 사용된다. 

거듭제곱함수

a 가 상수일 때 f(x) = x^n 형식의 함수를 거듭제곱함수 power function 라고 한다. 

f(x) = x^n 의 그래프의 일반적 형태는 n 이 짝수인지 홀수인지에 달려 있다. n 이 짝수이면 우함수이고, 홀수이면 기함수이다. 

a = 1/n, n 은 양의 정수

함수 f(x) = x^(1/n) 는 제곱근함수 root function 이다. 

a = -1

반비례함수 reciprocal function f(x)=x^-1 의 함수는 온도가 일정할 때 가스의 부피는 압력 P 에 반비례한다는 보일의 법칙에 관련된 물리학이나 화학에서 나타난다.

유리함수

유리함수 rational function, f 는 두 다항식의 비를 말한다.

여기서 P 와 Q 는 다항식이다. 

대수함수

함수 f 가 대수함수 algebraic function 라는 것은 다항식에 대수적인 연산을 작용하여 만든 것을 말한다. 모든 유리함수는 대수함수이다. 

대수함수의 그래프는 다양한 형태를 가진다. 

지수함수

지수함수 exponential function 은 밑 b 가 양수일 때, f(x)=b^x 형태의 함수이다. 정의역은 (-INF, INF)이고, 치역은 (0, INF)이다.

로그함수

로그함수 logarithmic functioni 은 밑 b 가 양수일 때, f(x) = log_b x 이다. 이것은 지수함수의 역함수이며 정의역은 (0, INF) 이고 치역은 (-INF, INF) 이다. x > 1 일 때 함수는 서서히 증가한다.