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미적분

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2.7 미분계수와 변화율 곡선의 접선의 기울기를 구하는 문제와 물체의 속도를 구하는 문제는 같은 형태의 극한을 구하는 것을 필요로 한다. 이 특수하나 형태의 극한을 미분계수(도함수) 라 부르고, 이것이 어떤 형태의 변화율로 해석될 수 있다는 것을 알게 될 것이다. 접선 곡선 C 의 방정식이 y = f(x) 일 때, 점 P(a, f(a)) 에서 C 의 접선을 구하려면 먼저 인접한 점 Q(x, f(x)) 를 생각하고, 할성 PQ 의 기울기를 구한다. x 를 a 에 접근시켜 Q 각 곡선 C 를 따라 P 에 접근하게 한다. m_PQ 가 일정한 수 m 에 접근하면, P 를 지나고 기울기가 m 인 직선을 접선 t 라고 정의한다. 정의 점 P(a,f(a)) 에서 곡선 y = f(x) 의 접선은 가 존재할 때 P 를 지나고 기울기가 m 인 직..
2.6 무한대에서 극한: 수평점근선 무한대에서의 극한의 직관적인 정의 함수 f 가 구간 (a, INF) 에서 정의된다고 하자. x 를 충분히 크게 잡았을 때 f(x) 의 값을 원하는 만큼 L 에 가깝게 할 수 있음을 의미한다. 정의 직선 y = L 을 곡선 y = f(x) 의 수평점근선 horizontal asymptote 라고 한다. 엄밀한 정의 무한대에서 극한의 엄밀한 정의 f 는 구간(a, INF) 에서 정의된 함수라 하자. 모든 epsilon > 0 에 대하여 을 만족하는 N 이 존재한다는 의미다.
2.5 연속성 x 가 a 에 접근할 때 함수의 극한은 a 에서의 함숫값을 계산해서 간단히 구할 수 있었다. 이러한 성질을 갖는 함수들을 a 에서 연속이라고 부른다. 정의 일 때 함수 f 는 a 에서 연속 이다. f 가 a 에서 연속이 아닐 때 f 는 a 에서 불연속이다. 다음 정리는 연속함수에 관한 중요한 성질이다. 중간값 정리 intermediate value theorem f 가 폐구간 [a,b] 에서 연속이고 f(a) != f(b) 라 하자. N 이 f(a) 와 f(b) 사이의 어떤 값이라 하면 f(c) = N 인 c 가 개구간 (a,b) 내에 존재한다.
2.4 극한의 엄밀한 정의 극한의 직관적 정의는 x 가 2 에 접근한다 와 f(x) 가 L 에 점점 더 가까워진다. 는 모호하기 때문에 어떤 면에서는 불충분하다. 위를 증명하기 위해서는 더 엄밀한 정의가 필요하다. 다음 함수를 고려해본다. 직관적으로 x != 3 이면서 x 는 3에 접근할 때 f(x) 가 5 에 접근하고 따라서 극한값이 5 임은 분명하다. x 가 3 에 접근할 때 f(x) 가 어떻게 되는가에 대한 좀 더 자세한 정보를 얻기 위해 다음과 같은 생각을 해본다. f(x) 가 5 와 0.1 보다 더 작게 차이가 나기 위해서는 x 는 3 에 얼마나 접근해야 하는가? x 와 3 사이의 거리는 |x-3| 이고, f(x) 와 5 사이의 거리는 |f(x)-5| 이므로, 이 문제는 을 만족하는 delta 를 구하는 것이다. 만약 |..
2.3 극한법칙을 이용한 극한 계산 2022.12.21 - [미적분/미분적분학] - 2.2 함수의 극한 2.2 함수의 극한 앞 절에서는 접선이나 속도를 구할 때 극한이 어떤 역항르 하는지 살펴보았다. f(x) = x^2 - x + 2 일 때, x = 2 근방에서 함수 f 의 움직임을 조사한다. f 의 그리프로부터 x 가 2 에서 가까워질수록 f(x) teach-meaning.tistory.com 이전엔 계산기와 그랠프를 사용하여 극한값을 추정하였다. 그러나 이 방법은 정확한 해답을 얻는 데는 한계가 있다. 극한법칙 합의 극한은 극한의 합과 같다. 함수의 상수배의 극한은 극한의 상수배와 같다. 곱의 극한은 극한의 곱과 같다. 몫의 극한은 극한의 몫과 같다. 곱의 법칙을 g(x) = f(x) 에 반복적으로 적용하여 다음 법칙을 얻게 된다. 위..
2.2 함수의 극한 앞 절에서는 접선이나 속도를 구할 때 극한이 어떤 역항르 하는지 살펴보았다. f(x) = x^2 - x + 2 일 때, x = 2 근방에서 함수 f 의 움직임을 조사한다. f 의 그리프로부터 x 가 2 에서 가까워질수록 f(x) 는 4 에 가까워짐을 알 수 있다. 이것을 x 가 2 에 접근할 때 함수 f(x)=x^2-x+2 의 극한은 4 이다. 라고 말하고 정의 a 와 같지는 않지만 a 에 충분히 가까운 x 를 잡으면 L 에 얼마든지 가까운 f(x) 값을 얻을 수 있을 때 로 나타내고 x 가 a 에 접근할 때 f(x) 의 극한은 L 이다. 라고 말한다. 극한의 정의에서 x != a 라는 문구에 유의해야 한다. 이것은 x = a 를 고려하지 않겠다는 의미다. 실제로 근방에서 f 가 어떻게 정의되어 있느냐가..
2.1 접선과 속도 문제 접선 문제 곡선의 접선은 곡선과 접하는 직선이다. 즉, 접선은 접점에서 곡선과 같은 방향을 가져야 한다. 유클리드의 정의에 따라 원에서 접선은 단순히 그 원과 오직 한 점에서 만나는 직선이라 할 수 있다. 포물선 y = x^2 의 접선 t 를 구하는 예제를 본다. 예제 점 P(1,1) 에서 포물선 y = x^2 의 접선의 방정식을 구하여라 접선 t 의 기울기 m 을 구하면 접선의 방정식을 구할 수 있을 것이다. 기울기를 구하기 위해서는 두 점이 필요하지만, t 위의 오직 한 점 P 만을 알고 있어서 어려움이 있다. 포물선 위의 가까운 점 Q(x,x^2) 를 잡고 할선 PQ 의 기울기 m_PQ 를 구하여 m 의 근삿값을 구할 수 있음을 알 수 있다. 예를 들어 점 Q (1.5, 2.25) 에 대하여, m_..
1.5 역함수와 로그 박테리아 배양실험에서 박테리아 수 N 은 시간 t 의 함수이므로 N = f(t) 로 나타낼 수 있다. 관점을 바꿔 개체 수가 일정 수준에 도달하는 시간을 구하려고 한다고 생각해본다. 이러한 함수를 f 의 역함수라고 부르고 f^-1 로 나타내며, f 의 역이라고 읽는다. t = f^-1(N) 은 개체 수가 N 에 도달하기 위해 필요한 시간이다. 모든 함수가 역함수를 갖는 것은 아니다. 이러한 성질을 갖는 함수를 일대일 함수라고 부른다. 만약 함수 f 가 같은 값을 두 번 이상 취하지 않는다면 일대일함수라고 부른다. 만약 어떤 수평션이 f 의 그래프와 두 점 이상에서 만난다면 f(x_1) = f(x_2) 를 만족하는 수 x_1 과 x_2 가 존재함을 알 수 있다. 수평선 판정법 함수가 일대일이 될 때 필요충..

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